Insiemi della matematica

[Ianero]

Comprì, grazie DirtyDeeds

[sebago]

Eh Biagio, Biagio, te l'avevo detto che l'astinenza è una brutta bestia...
Epperò anche tu, non hai resistito neppure 24 ore...
Ma dalle tue parti non ci sono feste, sagre, et similia?

[Ianero]

Dalle mie parti c'è una montagna, delle pecore e qualche volta passa una macchina

[sebago]

Dalle mie parti c'è una montagna

Il che non è neanche male, visto che almeno c'è un bel fresco (detto da un sardo che odia il mare...)

delle pecore

ottime, bollite con patate "in gappotto"

qualche volta passa una macchina

beh, allora approfittane e chiedile un passaggio...

Scherzavo (ma non su tutto), naturalmente.
Buone vacanze
(e se fossi in te - intendo dire: se avessi il tuo cervellone - mi leggerei i libroni di PietroBaima, DirtyDeeds e degli altri sapientoni).
Ciao

[ilfantasmaformaggino]

Purtroppo credo che ora nei corsi di analisi non venga più fatta...

Mi ha incuriosito la discussione così ho provato a dare una risposta anche io (premetto che con la matematica sono all'inizio quindi non so una sega)
Se ti riferisci alla costruzione dei numeri ecc... per quanto poco io conosca l'argomento ti posso dire che almeno a Matematica da me in Analisi l'abbiamo fatta nella maniera intuitiva (per allineamenti decimali) e l'abbiamo anche sul libro di testo (noi usiamo il Soardi e a me piace un sacco come libro) per più aprofondimenti la prof. di Analisi ci ha semplicemente detto, chi è interessato si guardi la costruzione di IR mediante tagli di Dedekind.

invece in Algebra abbiamo adottato un libro il cui punto centrale è il numero ("che cosa è un numero" è il titolo addirittura) si identifica IN con il più piccolo insieme apodittico ecc... si costruisce Z, Q poi IR mediante tagli di Dedeckind, poi C, H ecc... poi si va sulle strutture e si vedono insiemi numerici dei più improbabili tipo Z[alpha] ecc... quindi almeno a Matematica si fa.
P.s.
Curiosità: il mio prof di Algebra (esercitazioni) ci ha detto i matematici si sono dovuti fermare ad un certo punto e capire cosa diavolo sono i numeri perché si sono resi conto di aver sempre lavorato con strumenti (I NUMERI) a loro stessi sconosciuti e visto il casino che stava nascendo sugli insiemi si sono detti (parole del mio prof:" noi non sappiamo un h di cosa sono i numeri, non è che fra 100 anni uno si sveglia ed in una maniera furbissima dimostra che 1 = 0? cioè la matematica fatta fin ora funziona per puro caso ma per il resto e tutta da buttare nel cesso")

[6367]

Non ho ben capito il dettaglio del passaggio da N a Z a Q. Io lo feci abbastanza bene ad analisi 1 a ingegneria ma era un extra del mio docente non un argomento standard.

[ilfantasmaformaggino]

Non ho ben capito il dettaglio del passaggio da N a Z a Q. Io lo feci abbastanza bene ad analisi 1 a ingegneria ma era un extra del mio docente non un argomento standard.

il passaggio N→Z→Q a dire il vero non l'abbiamo fatto ad Analisi, li ci siamo limitati a costruire IR dando come scontato Q, IR lo abbiamo costruito per mezzo di allineamenti decimali (in cui però non deve comparire periodo 9), da noi in Analisi 1 la costruzione di IR non era un approfondimento della prof. ma una cosa da sapere, per il resto non ci ha nemmeno accennato la costruzione di N,Z,Q ma quello lo abbiamo fatto bene in Algebra, anche se devo dire ci vuole due secondi a definire N e costruire Z e Q (almeno per come abbiamo fatto noi non ci è volouto niente) diverso è invece per la costruzione di IR.

in sostanza N = l'intersezione di tutti i sottoinsiemi apodittici di un certo insieme X
dove con insieme apodittico X si intende un insieme in cui l'insieme vuoto appartiene a X e se x appartiene a X allora anche x unito {x} appartiene a X.
Poi si dimostra facilmente che N non dipende dall'insieme X apodittico di partenza, cioè se hai N contenuto in X apodittico e N' contenuto in Y apodittico, viene fuori che N = N' poi a seguire tutte le proprieta di N come ad esempio il principio di induzione ecc...

per Z la costruzione è semplice ed elementare ma lunghina da scrivere comunque è la stessa che hanno scritto qui nelle pagine precedenti (mi pare, non sono stato a leggere nel dettaglio ma a occhio mi è sembrata la stessa) comunque Z = N^+ unito N^- unito {0}
dove N^+ = N\{0} x {+} , N^- = N\{0} x {-}
se consideri le coppie (n,m) di NxN se n < m hai m = n+ k poni delta(n,m) = delta(n, n+k) per definizione uguale -k appartenente a N^-.
mentre se m<n si ha n = m+k quindi delta(n,m) = delta(m+k, m) = +k appartenente a N^+ e delta(n,n) = 0
così hai una funzione differenza delta: NxN→Z (surgettiva ma non iniettiva) e se consideri la relazione di equivalenza r t.c. (n,m)r(n',m') allora n+m' = n'+m indotta da delta si ottiene per un teorema una corrispondenza biunivoca tra l'insieme quoziente (NxN)/r →Z, poi si definiscono somma e prodotto in Z e le sue varie proprietà, tra cui l'unicità che è lunga da scrivere.

per Q stessa roba Q = (ZxZ\{0})/r dove r è la relazione di equivalenza t.c. (a,b)r(a',b') se ab' = ba'
poi si definiscono somme e prodotto ecc.. poi si vede l'unicità di Q come campo dei quozienti del dominio Z.

ovviamente si devono poi dimostrare le varie proprietà di N,Z,Q ma è lungo da scrivere, IR invece ad algebra l'abbiamo visto dopo gli insiemi ordinati e i tagli di Dedekind che è sicuramente un punto di vista più astratto rispetto agli allineamenti decimali ma tanto è la stessa roba.

p.s.
Ho preso gli argomenti pari pari dal libro, quindi sono giusti, non ho scritto tutto perché se no non finivo più comunque noi in questo modo abbiamo costruito i numeri, poi ovviamente ce ne saranno millemila e altrettanti se ne troveranno (parole del libro XD).