ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **simo85** » 12 ott 2014, 23:20

Ciao a tutti O_/

Negli appunti di Analisi mi viene proposto questo esercizio:

$2t {\text{d}^2f(t) \over \text{d}t^2} + 4 f(t) = 3$

E come condizione iniziale mi viene data:

f(1) = -4

Dunque io procedo cosi:

$\begin{aligned} & 2t {\text{d}^2f(t) \over \text{d}t^2} + 4 f(1) = 3 \\ & 2t {\text{d}^2f(t) \over \text{d}t^2} -16 = 3 \\ & 2t {\text{d}^2f(t) \over \text{d}t^2} = 19 \\ & {\text{d}^2f(t) \over \text{d}t^2} = {19 \over 2t} \end{aligned}$

Da cui deduco che

$f(t) = {19 \over 2} \int \int {1 \over t} \,\text{d}t = {19 \over 2} \int \ln t \,\text{d}t$

È giusta la mia risoluzione ?

Ringrazio in anticipo.

O_/

da **Russell** » 12 ott 2014, 23:51

Credo sia troppo semplicistico cosi'

inizialmente lasci la derivata seconda in t generico, quando hai appena usato una relazione valida solo per t=1.

Poi alla fine quando integri, stai scordando la costante... che poi dovresti determinare con la condizione iniziale

sono un po' arrugginito con le eq differenziali, ma credo che quel tipo di formulazioni si possano semplificare come spiegato qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_variazioni_delle_costanti#Equazioni_del_secondo_ordine

da **simo85** » 13 ott 2014, 0:28

Dunque innanzitutto sono uno stupido perché ho sbagliato a scrivere il testo dell'esercizio.
Scusa

Russell.

$\boxed{2t {\text{d}f(t) \over \text{d}t} + 4 f(t) = 3}$

Condizione iniziale:

f(1) = -4

Allora riscrivo tutto come:

2t f'(t) + 4f(t) = 3

Divido tutto per

cosi elimino il coefficiente:

$\begin{aligned} & {1 \over 2} f'(t) + f(t) = {3 \over 4} \\ & f(t) = {3 \over 4} - {1 \over 2}tf'(t) \end{aligned}$

Poi però sarà l'ora ma sono bloccato. Forse ho solo bisogno di riposare..

da **Ianero** » 13 ott 2014, 0:37

Allora riscrivo tutto come:

$\frac{2f'(t)}{3-4f(t)}=\frac{1}{t}$

da **Russell** » 13 ott 2014, 9:05

simo85 ha scritto:ho sbagliato a scrivere il testo dell'esercizio.

vabbè, poco male, in pratica sarebbe un'equazione del primo ordine invece che del secondo
quindi anche piu' facile da risolvere di solito
correggo di conseguenza pure io il link con il suggerimento, sempre che ti piaccia il metodo

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_variazioni_delle_costanti#Equazioni_del_primo_ordine

da **simo85** » 13 ott 2014, 11:27

Dunque per il momento scrivo:

$\begin{aligned} & 2t {\text{d}f \over \text{d}t} + 4f = 3 \quad(1) \\ & {2t \over {3-4f}} \text{d}f = \text{d}t \quad(2) \\ & {2 \over {3-4f}} \text{d}f= {1 \over t} \, \text{d}t \quad(3) \\ & 2 \int {\text{d}f \over {3-4f}} = \int \, {1 \over t} \, \text{d}t \quad(4) \\ \end{aligned}$

Arrivando alla

come indicato dal buon

Ianero.

Più tardi faccio i calcoli che ora non posso fare. #-o

da **simo85** » 13 ott 2014, 15:38

Dunque, questa è la soluzione a cui sono arrivato io:

$\begin{aligned} & 2 \int {\text{d}f \over 3 - 4f} \\ & u = (3 - 4f) \\ & {\text{d}u \over \text{d}f} = -4 \\ & 2 \int {\text{d}f \over 3 - 4f} = - {\ln(3 - 4f) \over 2} + c \end{aligned}$

$\int {1 \over t} \,\text{d}t = \ln t + c$

$\begin{aligned} & - {1 \over 2} \ln(3 - 4f) = \ln t \\ & \ln(3 - 4f) = -2 \ln t \\ & (3 - 4f) = {1 \over t^2} \\ & f = \left ( {3 \over 4} - {1 \over 4t^2} \right ) \end{aligned}$

Però qualcosa mi dice che non è la soluzione corretta, perché non sto valutando la condizione iniziale..
Dico bene ?

Ringrazio in anticipo. O_/

da **Ianero** » 13 ott 2014, 16:18

$-\frac{1}{2}\log \left( 3-4f\left( t \right) \right)=\log \left( t \right)+c$
$\frac{1}{\sqrt{3-4f\left( t \right)}}=te^{c}$
$\frac{1}{\sqrt{3-4f\left( t \right)}}=At$

Riarrangiando e sapendo che f(1)=-4

...

da **simo85** » 13 ott 2014, 21:50

Non capisco dove sbaglio.

La soluzione data dagli appunti è

$f = {3 \over 4} + {c\over t^2}$

:cry:

da **Russell** » 13 ott 2014, 22:37

Ti aiuto fino a dove mi ricordo...

riscrivo il tuo problema in
$f'+\frac{2}{t}f=+\frac{3}{t}$

Prendo l'equazione omogenea, ovvero metto uguale a zero
$f'+\frac{2}{t}f=0$

Si sa che questo tipo di equazione si risolve con un esponenziale del tipo
$f=ce^{-A(t)}$

dove A(t) è la primitiva del coefficiente $\frac{2}{t}$ dell'omogenea, ovvero -2ln(t)

Quindi si ha che
$f=ce^{-2ln(t)}=ct^{-2}=\frac{c}{t^{2}}$

Puoi verificare, che in effetti l'omogena è risolta

Adesso devi risovere la non omogena, ti lascio continuare...

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Dubbio con equazione differenziale e condizione iniziale

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