Esercizio di rete elettrica nel dominio del tempo

[RenzoDF]

Ti racconto come l'avrei risolto io:

a) mi sarei calcolato per via fasoriale la corrente iniziale, ovvero a interruttore aperto, dalla legge di Ohm, considerando il GIT a fase zero



e quindi il valore iniziale per la corrente nell'induttore



b) per t > 0 sarei andato a ricavarmi con Thevenin il circuito equivalente "visto" dall'induttore ad interruttore chiuso



e quindi la corrente a regime



ovvero, nel dominio del tempo



c) dopo essermi ricavato la costante di tempo



avrei scritto la corrente come somma di un termine transitorio esponenziale più la soluzione a regime



d) mi sarei ricavato la costante k dal vincolo di continuità per t=0, ovvero



NB i calcoli sono tutti da controllare e lascio a te il compito di farlo, ma la mia idea risolutiva è quella esposta ... e credimi, prima di usare i simulatori, fai un po' di pratica manuale, altrimenti non riesci a capire se sei tu a sbagliare ... oppure "loro"!

BTW ora controllo con LTspice e poi, se ti interessa, posto i risultati della simulazione.

[abj79]

Grazie RenzoDF,
purtroppo devo svolgere l'esercizio utilizzando per forza la strada classica, così è richiesto.
Sì, rimandiamo i simulatori e lasciamo stare i calcoli, anche nel mio caso.
Mi interessa il metodo: in conclusione ho dei dubbi sulle condizioni iniziali. La C e la K sono state calcolate correttamente? O sbaglio? Al di là del loro valore numerico.
Cioè, per la C:
è giusto considerare che all'istante iniziale del circuito R1-L la corrente è nulla: i=0 per e così ricavo la C? (NB:è il tempo che scorre prima della chiusura di T, quindi equivale a t<0 per l'intera rete.)

[RenzoDF]

Quando vai a calcolarti la corrente iniziale per t<0, il circuito è da supporsi a regime, non c'è da considerare il transitorio e quindi la costante C è da considerarsi nulla, ovvero devi solo andare a ricavarti l'integrale particolare dell'equazione differenziale.

Di conseguenza, semplicemente

[abj79]

Quindi calcolare C considerando la i iniziale nulla è improprio. KO.
L'integrale particolare per la i(t) è 7.05sin(314t-0.78)
Quindi trovo K imponendo:
[ 7.05sin(314t-0.78)=Ke.......3.84sin(314t-1,17)] per t=0 da cui:
7,05sin(-0.78)=K+3.84sin(-1.17) ???

(da cui K)

[RenzoDF]

Quindi calcolare C considerando la i iniziale nulla è improprio.

Sarebbe corretto se si sapesse quando è incominciato il transitorio per t<0 , ma dato che il testo ci specifica che la rete è da considerarsi a regime, dobbiamo ritenere il transitorio completamente esaurito.

[abj79]

Ecco finalmente l'esercizio svolto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Attraverso le relazioni di Kirchhoff ottengo l'equazione di equilibrio che risolve il sistema:

che ha per soluzione:

con:

soluzione dell'equazione omog. associata.
Invece è l'integrale particolare:


che, sostituito in 1) dopo opportuni passaggi fornisce:

Quindi la soluzione generale è:

Calcolo K:
considero il circuito per t<0 e, scelta una i(t) con lo stesso verso di i1(t), analogamente a prima ho:



che sostituita come prima, dopo opportuni passaggi, si ottiene l'integrale particolare:


Tuttavia alla chiusura di T la parte transitoria di i(t), che contiene la costante C, tende a 0 per cui il confronto di i per t=0- con i3 per t=0+ si scrive:



cioè:



e si ottiene K=-1.42 e quindi l'espressione di i3:

[abj79]

Grazie a tutti quanti, spero per lo meno che i miei sforzi nel pubblicare tutti questi quesiti di teoria ed esercizi potranno, in futuro, essere d'aiuto a chi ha le mie stesse difficoltà! Grazie anche per tutti questi voti, ma non è che poi sembra che ne capisco qualcosa?!?
Ciao ciao a tutti e buona giornata!

[RenzoDF]

Ecco la conferma di LTspice, dove uso un behavioral current sources (Error), per andare a plottare la differenza fra corrente calcolata e simulata, in quanto tracciando le due funzioni sul medesimo grafico non è visibile nessuna differenza fra le due curve.
La simulazione per semplicità e fatta a partire da t=0 ovvero inserendo la condizione iniziale per la corrente nell'induttore.

q1.gif (8.11 KiB) Osservato 4368 volte

[abj79]

RenzoDF non è che puoi inviarmi il file di LTspice con l'esercizio salvato? Mi sarebbe molto utile per verificare i risultati di altri esercizi....

[abj79]

In generale quindi, quando si chiede una caratteristica di funzionamento a regime, ad esempio nell'esercizio si sarebbe potuto chiedere solo la VL del ramo induttivo a regime, conviene tralasciare del tutto il calcolo, seppur breve, della soluzione omogenea? Posto questo altro esercizio:

Calcolare la tensione del ramo induttivo a regime:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Attraverso le relazioni di Kirchhoff ottengo l'equazione di equilibrio che risolve il sistema:

che ha per soluzione, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti:

con:


che, sostituito in 1) dopo opportuni passaggi fornisce:


e con:

che, sostituito in 1) dopo opportuni (ed estenuanti) passaggi fornisce:


Quindi la soluzione generale è:


Allora la tensione VL nel ramo induttivo è:
Vl=L*di3/dt
si deriva l'espressione di i3 trovata, la si moltiplica per L e si ottiene Vl:
Vl=4.77cos(628t-0.85)+9.51cos(314t-1.19) V


E' ok?