ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **abj79** » 25 ott 2014, 23:30

Quindi:
$V_{c}(0)=24=K_{1}+K_{2}+0$
L'altra condizione è, sempre per t=0, partendo da:
$\frac{\partial i_{l}}{\partial t}=\frac{V_{c}}{L} \ \ \rightarrow 0=\frac{K_{1}+K_{2}+0}{L}$

da **RenzoDF** » 25 ott 2014, 23:35

Occhio alla seconda condizione su K1 e K2, ovvero, puoi scrivere il sistema in due equazioni che permette di calcolare le costanti K1 e K2? ... la prima ora è corretta, ma la seconda è errata; non puoi derivare iL(t) se non la conosci ancora, e tantomeno derivare la iL(0).

Le uniche grandezze che non presentano discontinuità per t=0 sono la corrente nell'induttore e la tensione sul condensatore e quindi per poter applicare la

${{\left. \frac{\text{d}{{v}_{C}}(t)}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\frac{1}{C}{{i}_{C}}(0+)$

dovrai esprimere la corrente nel condensatore, dalla KCL al nodo, come

${{i}_{C}}(0+)=-{{i}_{R}}(0+)-{{i}_{L}}(0+)=-\frac{{{v}_{C}}(0+)}{R}-{{i}_{L}}(0+)=-\frac{24}{12}-0=-2\,\text{A}$

da **abj79** » 25 ott 2014, 23:58

Non posso fare, dalla I LdK del sistema:
$i_{r}+i_{l}-i_{c}=0 \rightarrow \frac{V_{c}}{R}+i_{l}+C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}=0 \Rightarrow t\rightarrow 0 \Rightarrow \frac{24}{R}+0+C(-3333K_{1}-1875K_{2})=0$
essendo:
$C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}=C(-3333K_{1}e^{-3333t}-1875K_{2}e^{-1875t})$

?

Ok, è uguale.
K1=483
K2=-459

da **RenzoDF** » 26 ott 2014, 11:13

abj79 ha scritto:... Ok, è uguale.

Si, ma ...

abj79 ha scritto:K1=483
K2=-459

... non ottengo gli stessi tuoi risultati ma bensì K1=54.9 e K2=-30.9.

Prova (per esercizio) a controllare con LTspice, modificando il file che ti ho inviato.

da **abj79** » 26 ott 2014, 11:35

Sì errore mio, confermo le tue K.

Il bilancio dell'esercizio è piuttosto negativo: ho sbagliato tutto quanto c'era da sbagliare, sono riuscito a inciampare in ogni passo, benchè ben guidato! perché non ho ho ancora nessuna intuizione di quale strada bisogna seguire? Ancora non riesco ad agganciare la fase "creativa" che ti porta alla costruzione del ragionamento corretto per la risoluzione dell'esercizio. Quanto manca, ancora?

Un grazie spassionato a

RenzoDF, dalla sconfinata pazienza e, devo dirti, dall'enorme talento nel seguire i post: qui ho incontrato molte persone che "la sanno" molto bene. Ma quasi nessuno riesce a trasmetterla e a dialogare con lo stesso registro dell'interlocutore, spesso diverso, spesso ad un livello più basso: questo è raro, è questo il vero talento. Complimenti.

Io continuo a studiare, non scappate!
PS: io ti riscrivo l'esercizio come negli altri 2 prima; se li ritieni significativi per qualche motivo e se ti va, si potrebbero pubblicare ad esempio nel tuo http://www.electroyou.it/admin/wiki/gli-esercizi-di-renzodf

da **RenzoDF** » 26 ott 2014, 12:31

Grazie, troppo buono! :-)

Ok, se vuoi scrivere degli articoli saranno di certo utili ai lettori del Forum, e ti servirà per fissare la metodologia risolutiva seguita; tempo permettendo, una mano te la do di certo.

Non vedo il bilancio così negativo, devi solo fare un po' di pratica e quindi ci vuole del tempo e tanto esercizio; vedrai che i progressi arriveranno presto.

Sostanzialmente il mio primo consiglio è ricordare che una rete, a partire da uno stato iniziale, dopo il periodo transitorio, arriverà ad una situazione di regime, per t tendente ad infinito, che potrà essere diversa a seconda dei generatori forzanti: se sinusoidali avremo un regime sinusoidale se continui un regime stazionario, se inesistenti un regime (normalmente) nullo.

La soluzione della rete a regime sarà il tuo integrale particolare, mentre il transitorio, che si presenterà quando per qualche ragione la topologia della rete verrà a variare (per es. chiusura di un interruttore) e di conseguenza verrà a variare il "regime" sul quale la rete tenderà a stabilizzarsi, sarà proprio il passaggio fra il regime iniziale e il regime finale; nel raccordo fra i due ricorda solo che le variabili di stato che non presenteranno (normalmente) discontinuità sono le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori e solo su di loro potrai "contare" nel "passaggio" da t=0- a t=0+ (avete studiato il "circuito resistivo associato?).

Giusto per farti un esempio, non mi sarebbe mai venuto in mente di cercare un integrale particolare di tipo sinusoidale per l'ultima rete; vedendo quel parallelo con un condensatore carico, un resistore e un'induttore, la prima cosa che mi è venuta in mente è che in quella rete correnti e tensioni non ci avrebbero messo molto ad annullarsi.
Ripeto, puoi anche provare a cercare un'integrale particolare sinusoidale, non è errato ipotizzarlo, e mi piacerebbe vedere dove ti porterebbe questa ipotesi, ti va di farlo?

da **abj79** » 26 ott 2014, 12:32

Esercizio risolto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per le leggi di Kirchhoff:
$\left\{\begin{matrix}-i_{c}+i_{r}+i_{l}=0 \\ V_{c}=Ri_{r} \\ Ri_{r}=L\frac{\partial i_{l}}{\partial t} \end{matrix}\right.$
Ricordando che l'equazione costitutiva per un condensatore è:
$i_{c}=C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}$
ma secondo convenzione, in questo caso è, per i versi scelti:
$-i_{c}=C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}$
l'equazione risolvente si scrive:
$\[ C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}+\frac{V_{c}}{R}+i_{l}=0\rightarrow \frac{\partial }{\partial t} \ \rightarrow \ \ C\frac{\partial^2 V_{c}}{\partial t^2}+\frac{\ 1 }{R}\frac{\partial V_{c}}{\partial t}+\frac{V_{c}}{L}=0 \ \rightarrow \frac{\partial^2 V_{c}}{\partial t^2}+\frac{\ 1 }{RC}\frac{\partial V_{c}}{\partial t}+\frac{V_{c}}{LC}=0 \ \ (1)$

Risolvo:
$V_{c}^{0}(t)=K_{1}e^{\alpha_{1} t}+K_{2}e^{\alpha_{2} t}$ : è la soluzione dell'equazione omogenea con:
$\rightarrow \alpha _{1}=-3333 \ \ \ \alpha _{2}=-1875$
Per trovare l'integrale particolare basta pensare che, dopo un tempo indefinito, il condensatore inizialmente carico si sarà scaricato completamente per la connessione ai carichi ohmico e induttivo. Volendolo calcolare infatti, sostituendo un generico valore incognito $V_{c}^{p}=V=cost$ alla (1) si otterrebbe:
$\ 0+\frac{\ 0 }{RC}+\frac{V}{LC}=0 \rightarrow V=0=V_{c}^{p}$
Perciò la generica soluzione a meno di costanti della (1) è:
$V_{c}(t)=V_{c}^{0}(t)+V_{c}^{p} \rightarrow V_{c}(t)=K_{1}e^{\-3333t}+K_{2}e^{\-1875t}+0$

Calcolo le costanti K1 e K2:
imponendo la condizione iniziale Vc(0)=24 V alla soluzione genrica Vc(t) per t=0 ho:

$V_{c}(0)=24=K_{1}+K_{2}$
mentre, considerato che per la forma appena trovata di Vc si ha:

$C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}=C(-3333K_{1}e^{-3333t}-1875K_{2}e^{-1875t}) \ \ \ \ (*)$
e che assume il valore, per t->0+:
$C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}|(t=0+)=C(-3333K_{1}-1875K_{2})$
imponendo la condizione iniziale Vc(0+)=24 V e iL(0+)=0 A alla prima equazione del sistema di partenza, si ha:

$i_{r}+i_{l}-i_{c}=0 \rightarrow \frac{V_{c}}{R}+i_{l}+C\frac{\partial V_{c}}{\partial t}=0 \Rightarrow t\rightarrow 0 \Rightarrow \frac{24}{R}+0+C(-3333K_{1}-1875K_{2})=0$
che posta a sistema con la (*) fornisce i valori per le costanti incognite:

K1=54.9; K2=-30.9 da cui il risultato:

$V_{c}(t)=54.9e^{\-3333t}-30.9e^{\-1875t}$

da **RenzoDF** » 26 ott 2014, 12:35

Ora, per l'articolo, ci vorrebbe una simulazione di conferma! ;-)

BTW unico appunto, per la seconda condizione iniziale ti consiglierei di evidenziare la condizione iniziale sulla derivata della vc, ricavandoti esplicitamente la $v_C^\prime(0+)$

da **abj79** » 26 ott 2014, 12:49

RenzoDF ha scritto::ok:

Ora, per l'articolo, ci vorrebbe una simulazione di conferma!

Ho l'esame in settimana (vedo il giorno prima a che punto sarò, devo studiare più che posso per cercare di non saltare l'appello, c'ho preso pure le ferie!): rimandiamo di qualche giorno, ok? Prometto che dopo non scappo (a preparare impianti meccanici, moan, sarà il mio ultimo esame)!!!
Interessante anche la questione dell'integrale particolare in forma sinusoidale: per i miei limiti nella trigonometria non sono riuscito che a trovare una forma indeterminata per Vm e un phi=0.06, ma con l'ipotesi sbagliata di una pulsazione di 314 rad/sec. Mantenedo lo stesso procedimento e considerando invece come incognite w, Vm, phi mi aspetto che dalle 2 equazioni che si ottengono dopo aver applicato le formule di sottrazione per il seno e coseno si ottiene da una un valore di phi e dall'altra il valore di w. Mi aspetto anche che w viene 0 rendendo costante il valore generico per l'integrale particolare sinusoidale che poi, sostituito nella (1) mi darà di nuovo per Vm=0. Purtroppo non ho tempo per procedere, ma davvero mi piacerebbe vedere che succede, in fondo dovrebbe tornare lo stesso.

da **sebago** » 26 ott 2014, 12:53

abj79 ha scritto:Un grazie spassionato a RenzoDF, dalla sconfinata pazienza e, devo dirti, dall'enorme talento nel seguire i post: qui ho incontrato molte persone che "la sanno" molto bene. Ma quasi nessuno riesce a trasmetterla e a dialogare con lo stesso registro dell'interlocutore, spesso diverso, spesso ad un livello più basso: questo è raro, è questo il vero talento. Complimenti.

Non ho seguito l'esercizio (e certe cose non me le ricordo più tanto bene...) ma queste parole meritavano di essere evidenziate. Per la (arcinota) bravura del Sommo e per la riconoscenza dell'allievo.
Complimenti a entrambi!

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