Convoluzione tra seno e impulso rettangolare

[ellosma]

Devo svolgere la convoluzione di questi due segnali




Nel primo caso mi risulta un grafico periodico che incontra l'asse x nel punti 0 , 1 e 2 (ecc)
Nel secondo caso il grafico mi risulta essere un rettangolo che in contra l'asse x nei punti 1 e 3.

Per eseguire la convoluzione ruoto rispetto all'asse y il secondo grafico. In questo modo il grafico avrà estremi e , spostandolo verso desta.

Per , così come per la convoluzione non esiste

Spostando il secondo grafico verso destra allora la convoluzione risulta essere , secondo me,

Nella risoluzione invece il mio professore scrive Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo ? Dato che sono le prime convoluzioni che svolgo ho cercato di aiutarmi nello scrivere l'integrale attraverso questi esercizi http://www-dsp.elet.polimi.it/fst-tubaro/Esercizi/Es_Conv.pdf che mi sono stati consigliati nel post precedente

[Russell]

Ora non ho modo di studiare il tuo problema
ti segnalo solo, per via di quello che hai scritto, che potrebbe tornarti utile una proprietà della convoluzione
ovvero vedi x(t) come la somma di x1(t) + x2(t)
bene la convoluzione tra h(t) e x(t) equivale alla somma delle convoluzioni tra h(t) con x1(t) e x2(t)
credo che analizzzare separatamente i due termini ti semplifichi la vita

[ellosma]

Russell ho provato a fare come mi hai detto e ha ruotare il seno invece di h(t) ma non riesco a saltarci fuori ho cercato esercizi simili anche in forum inglesi e francesi ma ogni volta risolvono con Fourier :/ ho la pagina con la soluzione , passo passo , ma non riesco nemmeno a capire come ha fatto il mio professore l'unica certezza che avevo era il e lui mi ha cancellato anche questa dato che il non lo mette

[Russell]

l'unica certezza che avevo era il e lui mi ha cancellato anche questa dato che il non lo mette

ma non è che lui tiene fermo il seno, e va a traslare l'altra funzione (ovvero h(t) ) che è un rettangolo e quindi piu' comodo da muovere?

[ellosma]

Si , lascia fisso il seno, ma mentre in tutti gli altri esercizi che ho svolto io sottraevo ( e così faceva lui ) l'integrale se il grafico era sotto l'asse x , ora invece nella sua soluzione non separa più ogni sezione e opera sugli integrali, ma ne fa uno unico dato che al milionesimo tentativo non mi tornava ancora , allora ho provato ad invertire il seno ma anche in quel caso il risultato non mi torna

[Russell]

Si confermo, rileggendo quello che hai scritto l'errore è li'
quando calcoli la convoluzione a mano (graficamente) una funzione sta' ferma, l'altra si ribalta e trasla
tieni a mente sempre la definizione
http://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione#Definizione
o tieni ferma f e ribalti+trasli g, o tieni ferma g e ribalti+trasli f

nel tuo caso conviene tenere ferma la funzione x(t), che è piu' complessa
nell'integrale scriverai x(tau)
a muoverai (per semplicità) la funzione h(t), e quindi dovrai scrivere h(t-tau) nell'integrale
a quel punto integri in d-tau... che equivale a dire applichi tutte le varie traslazioni una per una

il tuo prof intanto fa' notare che essendo il segnale x(t) non nullo solo tra 0 e 2 l'integrale sarà definito e semplice da risolvere analiticamente.

disegna h(-tau) tanto per far vedere come si ribalta
poi disegna h(t-tau) per la generica traslazione

fa' notare che se t è tale che le 2 funzioni non si toccano l'integrale (del prodotto) sara' nullo
mentre quando il rettangolino si sovrappone (parzialmente) con la funzione x(t) l'integrale è non nullo per via dell'area di intersezione (tratteggiata in figura)

poi banalmente si cambiano i limiti dell'integrale, che invece di andare da -infinito a +infinito, li limita all'area di intersezione

il resto sono calcoli derivanti dall'integrale.

Ripete poi parte del ragionamento per via del fatto che il rettangolo puo' anche sovrapporsi sulla parte terminale della funzione x(t), e il caso va trattato a parte perche' cambino i limiti di integrazione per via della diversa sovrapposizione