Numeri complessi: Cosa sono?

[TardoFreak]

Non direi che servono solo per evitare i coseni. Prendiamo un bipolo, la parte immaginaria corrisponde alla componente reattiva mentre quella reale a quella resistiva.
In soldoni se io ho una resistenza in serie ad un' induttanza la parte immaginaria corrisponde all' induttanza mentre la reale alla resistenza.
Non ci vedo né seni né glutei.

[PietroBaima]

Diciamo che serve per evitare di risolvere equazioni differenziali "scambiandole" con la risoluzione di equazioni algebriche a coefficienti complessi.

[g26]

TardoFreak: Missà che stiamo dicendo la stessa cosa , alla fine puoi scrivere un segnale come , ignorando momentaneamente la frequenza. Applicando questo concetto ai segnali di tensione e di corrente si arriva alle impedenze e quindi a ciò che hai detto tu. E appunto per le impedenze questo ha un significato fisico abbastanza chiaro, ma purtroppo è l' unico caso che conosco in cui sia così chiaro
Studi ingegneria? A me da studente di ingegneria questi numeri danno un po' fastidio. Un po' mi danno fastidio anche le matrici, ma dopo aver studiato teoria dei sistemi forse mi fanno un po' meno paura, ma per le matrici almeno i matematici ci avevano abituato al primo anno: "oggi spiegheremo un argomento che non capirete" .

PietroBaima: Esatto! Si potevano considerare i fasori come una trasformata integrale, giusto? Avevo provato a vedere tempo fa, visto che mi avevano incuriosito le similitudini con la risoluzione delle ODE mediante la trasformata di Fourier, visto che entrambe portano la funzione nel dominio della frequenza e le regole di integrazione e derivazione di fasori e trasformate erano simili! Poi ho lasciato perdere la teoria perché a noi basta meno! Tu sei un matematico?

[PietroBaima]

Hem, no, sono solo un finto matematico , cioè un fisico.

Per la soluzione di ODE è possibile utilizzare la proprietà di derivazione della trasformata di Laplace.
Quando effettuo la derivata della funzione y(t) e la trasformo vale la formula:



dove con s ho indicato la pulsazione e con la Y maiuscola indico la trasformata della funzione y(t).
Questa proprietà è facilmente dimostrabile scrivendo per esteso la definizione di trasformata di Laplace e ricordando che:



Facciamo un esempio. Avendo un gruppo RC di questo tipo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Volendo trovare l'andamento della tensione di uscita applicando un gradino di tensione in ingresso dobbiamo risolvere l'equazione differenziale:



che è una LODE per t>0 ponendo una condizione iniziale data dalla funzione a gradino u(t).
vi non dipende da t perché la dipendenza dal tempo è tutta in u(t) (in pratica è nulla per t<0 e costante ad un valore chiamato vi per t>0)

Volendo non risolvere questa equazione differenziale lineare con le solite tecniche ma utilizzando la trasformata di Laplace monolatera, possiamo trasformare ambo i membri dell'equazione.



ora utilizziamo la proprietà di linearità e trasformiamo ogni singolo elemento dell'equazione:


Ho scritto in maiuscolo le funzioni trasformate.
Si può ricavare che:



Antitrasformando:





che risulta essere la formula del transitorio.

Questo modo di vedere i circuiti è dovuto ad Heaviside. Se ti interessa guarda anche i lavori di Steinmetz.

Trasformando una LODE di ordine n con Laplace ricavo una equazione algebrica di grado n.
Trasformando una LPDE di ordine n con Laplace ricavo una ODE espressa nella variabile non trasformata (ricorda per esempio quella che gli elettronici chiamano equazione dei telegrafisti, si passa da una LPDE nello spazio e nel tempo ad una LODE nello spazio)
Trasformando una LPDE dove le variabili sono nello stesso spazio (per esempio facendo una trasformata di Laplace nello spazio e non nel tempo) serve una trasformata tridimensionale. In questo caso lo spazio viene ridotto ad un vettore non differenziale. Sono tecniche che vengono utilizzate nella manipolazione delle immagini, per esempio. Credo sia uno dei pochi campi dove si usino ancora i quaternioni.
Se poi vogliamo utilizzare trasformate dove spazio e tempo vengono considerate un tuttuno conviene utilizzare il calcolo tensoriale.

Ciao,
Pietro.

[simo85]

Un piccolo pezzo di storia sulle origini dei numeri complessi si trova in questo libro:

Complex Analysis by Ian Stewart & David Tall.

Fortunatamante, al link, grazie al preview di Amazon, si può leggere appunto la sezione "The origins of complex numbers".

[Vinus]

Vi dico la mia sull'interpretazione dei numeri complessi...

Costituiscono un metodo per passare dalle operazioni algebriche riguardanti numeri reali, a quelle relative a coppie di numeri reali, una volta imposti gli algoritmi relativi alle operazioni di somma e prodotto...

L'introduzione dell'unità immaginare può essere motivata come un artificio per rendere verosomigliante il più possibile la manipolazione algebrica di coppie di numeri rispetto a quella relativa a numeri tout-tourt...

[fairyvilje]

Non vedo il senso con quest'ultima interpretazione, per gestire coppie di numeri reali sarebbe bastato (e naturale) usare un vettore di lunghezza due.

[TardoFreak]

O anche il prodotto cartesiano RxR.

[Vinus]

Non vedo il senso con quest'ultima interpretazione, per gestire coppie di numeri reali sarebbe bastato (e naturale) usare un vettore di lunghezza due.

Si ma l'idea alla base dell'interpretazione non si fonda solo sulla mera gestione di coppie di numeri reali, bensì anche sul fatto che:

1) gli algoritmi di addizione e prodotto forniscono risultati formalmente simili al campo reale nel caso di coppie (x,0)

2) mentre danno luogo ad una -chiamiamola così- "incongruenza sul piano reale" nel caso in cui si vada ad operare con coppie del tipo (0,y)

Infatti moltiplicare (x,0)(x,0) da luogo a (x^2,0) che in un certo modo ricorda il prodotto xy (perdonate l'assenza di LaTex, sto da mobile... ) mentre moltiplicare (0,x)(0,x) da luogo a (0, -x^2)

[PietroBaima]

no, mi dispiace, ma la tua interpretazione dei numeri complessi non ha senso, nei termini in cui l'hai posta.