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da **Vicentio** » 3 dic 2014, 18:52

Salve! Oggi il prof di analisi ci ha dato da risolvere questo integrale :

$\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(x^8+x^7+x^3+x+1)}{(x^8+1)}\cos(x)\,\text{d}x$

Io ho provato a risolvere, pero il $\cos(x)$ mi da fastidio.
Sapete come si potrebbe risolvere?
Grazie!

da **g.schgor** » 3 dic 2014, 18:58

Vedi qui

da **PietroBaima** » 5 dic 2014, 11:51

Volevo solo aggiungere questo:

l'integrale $\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(x^8+x^7+x^3+x+1)}{(x^8+1)}\cos(x)\,\text{d}x$

ha il grado del numeratore uguale a quello del denominatore, per cui conviene dividere i polinomi.

$\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(x^8+x^7+x^3+x+1)}{(x^8+1)}\cos(x)\,\text{d}x =$

$=\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[1+\frac{x^7+x^3+x}{x^8+1}\right ]\cos(x)\,\text{d}x=$

$=2+\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{x^7+x^3+x}{x^8+1}\cos(x)\,\text{d}x$

La funzione

è DISPARI

La funzione $\frac{1}{1+x^8}$ è PARI

La funzione $\cos(x)$ è PARI

per cui la funzione $\frac{x^7+x^3+x}{x^8+1}\cos(x)$ è DISPARI (DISPARI*PARI*PARI)

una funzione dispari integrata su un intervallo simmetrico è nulla (l'area sul semiasse negativo è uguale ma di segno opposto all'area sul semiasse positivo).

: Untitled-1.gif (2.93 KiB) Osservato 2168 volte

Per cui:

$\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(x^8+x^7+x^3+x+1)}{(x^8+1)}\cos(x)\,\text{d}x =$

$=\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[1+\frac{x^7+x^3+x}{x^8+1}\right ]\cos(x)\,\text{d}x=$

$=2+\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{x^7+x^3+x}{x^8+1}\cos(x)\,\text{d}x=$

da **Vicentio** » 5 dic 2014, 19:48

Grazie!

da **PietroBaima** » 6 dic 2014, 14:47

Prego.
Ricordati sempre, quando hai un integrale definito su un intervallo simmetrico, di controllare, come prima cosa, parità e disparità della funzione integranda.
Se l'integranda è dispari (o un pezzo di essa) può essere eliminata.
Se l'integranda è pari (o un pezzo di essa) in genere si semplifica il calcolo perché puoi fare partire uno dei due estremi da zero e moltiplicare il risultato per due.

Questo controllo va fatto prima di partire con i calcoli.

Ciao,
Pietro.

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