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Sito web · da **admin** » 8 dic 2014, 16:28

ellosma ha scritto:Da cui ottengo , facendo la somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria , che il modulo e' 0

Il quadrato di un numero reale diverso da zero è sempre positivo, non può essere nulla la somma di due quadrati!
Ricorda che parte reale e parte immaginaria di un numero complesso sono entrambe reali

da **PietroBaima** » 8 dic 2014, 18:32

no no no
Non prendertela, ma stai imparando male a fare i moduli dei numeri complessi.
Per saper calcolare un modulo di un numero complesso ti servono poche regole.
Tu tendi a fare una marea di calcoli (e quindi a fare errori di calcolo) perché non conosci le proprietà del modulo.
Cancella dalla tua mente in modo sistematico e definitivo quello che sai sul modulo e sostituiscilo con quello che sto per dirti.

Ti serve sapere che il modulo di un numero complesso è definito come:

$\left| x+\text{i}y\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

La radice quadrata a secondo membro è estratta partendo dalla somma di due quadrati, quindi è sempre reale, da cui si ricava anche che se il modulo è nullo allora il numero complesso è $0+\text{i}0$ .
Confronta con quello che scrive

admin.

Ti serve sapere che il modulo di un numero complesso con la parte immaginaria nulla o la parte reale nulla è il valore assoluto di quella parte.
Esempi:

$\left| 1+\text{i}0\right|=\sqrt{1^2+0^2}=1$

$\left| -1+\text{i}0\right|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$

$\left| -2+\text{i}0\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2}=2$

$\left| 0+\text{i}1\right|=\sqrt{0^2+1^2}=1$

$\left| 0-\text{i}1\right|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$

$\left| 0-\text{i}2\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2$

Ti serve sapere che il modulo di un esponenziale complesso è sempre pari ad uno.

$\left|\text{e}^{\text{i}a}\right|=\left|\cos(a)+\text{i}\sin(a)\right|=\sqrt{\cos^2(a)+\sin^2(a)}=1$

Ti serve sapere che il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli.

$\left| (x+\text{i}y)(v+\text{i}w)\right|=\left| x+\text{i}y\right|\left|v+\text{i}w\right|$

Ti serve sapere che il modulo del rapporto di due numeri complessi è uguale al rapporto dei moduli.

$\left| \frac{x+\text{i}y}{v+\text{i}w}\right|=\frac{\left| x+\text{i}y\right|}{\left|v+\text{i}w\right|}$

Fine di quello che devi sapere.

Adesso prendiamo il primo esercizio, il secondo lo fai tu come check.

ellosma ha scritto:Prima di tutto ( scusate !) il testo giusto e' questo e io ho fatto:
$( \sqrt{3} + \text{i}^3)( 1 - i)$

$( \sqrt{3} + \text{i}^3)( 1 - i)$

$\text{i}^3=-\text{i}$

$( \sqrt{3} - \text{i})( 1 - i)$

$\left|( \sqrt{3} - \text{i})( 1 - i)\right|$

$\left| \sqrt{3} - \text{i}\right|\left| 1 - i\right|$

$\sqrt{ \sqrt{3}^2+( -1)^2}\sqrt{ 1^2 +(-1)^2}$

$\sqrt{ 3+1}\sqrt{ 1 +1}$

$2\sqrt{ 2}$

Ciao,
Pietro.

da **ellosma** » 9 dic 2014, 17:07

Grazie mille per tutta la precisa spiegazione ! Finalmente sono riuscita a capire e anche il modulo dell'altro esercizio risulta essere giusto :-)

ti chiedo un ultima cosa, vorrei cercare di comprendere anche le caratteristiche e le proprietà dell'argomento , così da evitare di scrivere altre oscenità e farvi perdere altro tempo. Ci sono slides che mi possono permettere di studiare anche le caratteristiche dell'argomento , dato che quelle del modulo mi sono già state indicate ? Grazie mille

da **PietroBaima** » 9 dic 2014, 18:12

Non ti servono slide, ma altre quattro regolette per calcolarlo.
L'argomento è definito come:

$\arg( x+\text{i}y)=\arctan\!2\left(y,x \right)$

Può essere che tu non conosca cosa sia la funzione arctan2 oppure che tu abbia trovato questa definizione dell'argomento:

$\arg( x+\text{i}y)=\arctan\left(\frac{y}{x} \right)$

bene, questa definizione è ERRATA perché ti permette di calcolare correttamente l'argomento di un numero complesso solo quando esso è compreso tra $-\pi/2$ e $\pi/2$ e non altrimenti.

Questo deriva dalla restrizione effettuata sulla funzione inversa della tangente per renderla biettiva.
Per calcolare correttamente l'argomento di un numero complesso è quindi stata "inventata" una nuova funzione che considera correttamente la posizione del numero complesso sul piano di Argand-Gauss.

Su wikipedia troverai come funziona la arctan2, leggi la voce.

Ora vediamo come effettuare il calcolo dell'argomento di un numero complesso con un algoritmo:

dato il numero: $x+\text{i}y$ ne vogliamo calcolare l'argomento.

Controlliamo se x=0. Se x=0:
{
Se y>0 la fase vale $\pi/2$ ;
altrimenti se y<0 la fase vale $-\pi/2$ ;
altrimenti se y=0 la fase non è determinabile.
}

altrimenti (x diverso da zero):
{
calcoliamo $\arctan\left(\frac{y}{x} \right)$ [per comodità chiamo questo valore f]

se x>0 $\arg(x+\text{i}y)=f$

se x<0 $\arg(x+\text{i}y)=f+\pi$

}

Esempio.
Facciamo un disegno:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In questo modo, con questo semplice esempio, vediamo "ad occhio" le fasi.
per 1+i la fase è $\pi/4$
per 1-i la fase è $-\pi/4$
per -1+i la fase è $\pi/2+\pi/4=3\pi/4$ perché dobbiamo attraversare tutto il primo quadrante
per -1-i la fase è $\pi/2+\pi/2+\pi/4=5\pi/4$ perché dobbiamo attraversare tutto il primo e il secondo quadrante

Se controlli, con l'algoritmo che ti ho dato (fallo), vedrai che i risultati corrispondono, mentre se usi la definizione errata (che purtroppo spesso si trova in giro, sigh) otterrai:

per 1+i la fase $\pi/4$ corretto
per 1-i la fase $-\pi/4$ corretto
per -1+i la fase $-\pi/4$ ERRATA (confronta il disegno)
per -1-i la fase $\pi/4$ ERRATA (confronta il disegno)

Ti manca ancora da sapere qualche proprietà utile per il calcolo operativo.

L'argomento eredita le proprietà dei logaritmi.

Siano z e w due numeri complessi, $\phi$ un angolo e a un numero reale.

$\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$

$\arg(\frac{z}{w})=\arg(z)-\arg(w)$

$\arg(\text{e}^{\text{i}\phi})=\phi$

$\arg(az)=\arg(z)\qquad a>0$ (caso particolare della prima. Se "allunghi" un complesso l'angolo non cambia)

$\arg(az)=\arg(z)+\pi\qquad a<0$ (caso particolare della prima. Se "allunghi" un complesso e gli "inverti" la direzione l'angolo ruota di pi greco)
Esercizi.

Calcolare l'argomento dei seguenti numeri complessi:

$\text{i}$

$-\text{i}$

$1+\text{i}2$

$-1-\text{i}2$

$(1+\text{i}2)(-1-\text{i}2)$

$(1+\text{i})(-1+\text{i})$

$\frac{1+\text{i}2}{-1-\text{i}2}$

$\frac{1+\text{i}}{-1+\text{i}}$

$\frac{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}{-1+\text{i}2}$

$\frac{\text{e}^{3+\text{i}\frac{\pi}{4}}}{-1+\text{i}2}$

Ciao,
Pietro.

da **ellosma** » 10 dic 2014, 15:14

Wow! Non so davvero come ringraziarti! Ho fatto gli esercizi , e poi ho controllato i risultati con wolfram :ok:

gli unici due che non mi vengono ( il secondo e' una conseguenza del primo ) e' il sesto -1 - 2i

X e' < 0 quindi dovrei trovare $arctan ( y/x) + \pi$ ma il caro wolfram dice $- \pi$ infatti a me risulta 4,28 e a lui -2,034 :/

Ho cercato su internet e ho trovato questa pagina ma non vorrei fare ulteriori danni utilizzando formule delle quali non conosco perfettamente l'utilizzo

http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/762-modulo-e-argomento-di-un-numero-complesso.html

da **PietroBaima** » 10 dic 2014, 17:07

Prego, figurati.
Hai notato che -2.034+6.283=4.249 che, a sua volta, è molto simile a 4.28 (tuo risultato)?

Il risultato che ottiene wolfram è espresso nell'intervallo $[-\pi,+\pi]$ , mentre quello che hai ottenuto tu è espresso nell'intervallo $[0,2\pi]$ ;-)

Sono esattamente la stessa cosa.
Per arrivare a descrivere quell'angolo posso ruotare in senso antiorario oppure in senso orario.
Nel primo caso otterrai un risultato positivo maggiore di pi greco, nel secondo un risultato negativo (ruoti in senso orario)
Ne parla anche la pagina che hai linkato.

La domanda che potrebbe sorgerti è: "perché utilizzi questo intervallo strano?"
La risposta è data dalla mia pazzia

Quando faccio tanti calcoli succede che sistematicamente dimentico qualche segno meno da qualche parte, cosa che non mi fa mai tornare i conti. Da questo punto di vista sono una frana, quindi ho dovuto cercare un metodo.

Allora, dato che all'università sbagliare un conto significava prendere un voto basso mi ero detto "devo fare in modo di minimizzare il numero di segni meno che mi porto dietro, se voglio minimizzare gli errori".
Sembrerebbe che l'intervallo migliore sia quindi quello $[0,+2\pi]$ , ma la parità del coseno e la disparità del seno potrebbero cambiare le carte in tavola (gli errori di segno su un numero complesso si vedono quasi sempre, infatti, nella parte immaginaria, e solo se sono stati dimenticati un numero dispari di volte).
Mentre facevo esercizi mi ero fatto una statistica degli errori di segno commessi (per fortuna dovevo fare tanti esercizi) ricavando la probabilità di errore e avevo risolto diversi esercizi usando differenti combinazioni di intervalli cercando il valore massimo della probabilità minima, in modo anche da calcolarmi quanti punti attesi mediamente avrei perso a causa degli errori di segno.
-lo so, sono da manicomio, ma quando si è disperati si fa anche questo-

L'algoritmo che ti ho passato è quello che minimizza la probabilità di fare errori di segno

Forse la cosa che mi salva è che all'università l'avevo detto a qualche amico, per poi scoprire che, poco dopo, lo utilizzavano tutti, in aula.

Ciao,
Pietro.

da **DirtyDeeds** » 10 dic 2014, 21:17

PietroBaima ha scritto:Mentre facevo esercizi mi ero fatto una statistica degli errori di segno commessi (per fortuna dovevo fare tanti esercizi) ricavando la probabilità di errore e avevo risolto diversi esercizi usando differenti combinazioni di intervalli cercando il valore massimo della probabilità minima, in modo anche da calcolarmi quanti punti attesi mediamente avrei perso a causa degli errori di segno.
-lo so, sono da manicomio, ma quando si è disperati si fa anche questo-o

Questa è over the top (:OOO:)