Circuito L

[SamFisher]

Salve a tutti.
Vorrei gentilmente porvi il seguente quesito:
Consideriamo un generatore IDEALE di tensione e consideriamo un induttore ,per semplicità lineare, e caratterizzato da un valore L dell'induttanza.
Colleghiamo i due componenti:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Fermo restando che: so bene che una cosa del genere non è in realtà possibile, in quanto impossibile è eliminare gli effetti resistivi, capacitivi e soprattutto avere a disposizione un generatore ideale di tensione.
L'analisi del problema che ho fatto è la seguente:
dove con ho indicato la forza elettromotrice indotta, ossia

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Bene, ora posso scrivere che ossia se consideriamo che al tempo allora (ho cambiato di in dp per rigore matematico).
ottenendo quindi .
Quindi:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La spiegazione che posso dare è la seguente: il generatore ideale di tensione eroga una corrente crescente linearmente nel tempo, quindi una potenza crescente nel tempo, la quale viene "immagazzinata nell'induttore, o meglio nel campo magnetico".
Per intuire il fenomeno ho pensato ad una massa m posta su un piano orizzontale, in assenza di attrito. La massa sia spinta da una forza F. L'equazione(scalare) che governa il fenomeno è il seguente: ottenendo quindi . La velocità del corpo di massa m è quindi crescente linearmente nel tempo, il lavoro compiuto dalla forza uguaglia la variazione di energia cinetica del corpo (limitiamoci alla meccanica classica).

Cosa ne pensate? Per me è importante sapere la vostra opinione, vi dirò perché.

[aldofad]

La forza elettromotrice la ottieni solo da un campo magnetico variabile nel tempo e nel tuo circuito vedo un generatore di tensione continua, non vedo il senso quindi di tutto il resto.

[SamFisher]

Il senso è questo: un generatore di tensione ideale ha una caratteristica volt-amperometrica così fatta:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ad essere costante è dunque la tensione non la corrente!

[aldofad]

Ad essere costante è dunque la tensione non la corrente!

Ma non e' un circuito oscillante. E non esiste lo sfasamento sulla corrente continua. Non capisco il punto, spero arrivino altri aiuti

[SamFisher]

Si aspettiamo altri aiuti.
Nel frattempo posso dirti che non deve per forza essere oscillante un circuito affinchè ci sia f.e.m.i, è sufficiente che il flusso sia variabile. In questo caso lo è, perché lo è la corrente, che non è continua ma variabile appunto (lineare crescente con il tempo). Bè io ho messo tutto nero su bianco qui sopra, speriamo che qualcuno abbia la pazienza di leggere tutto.

[Fabio992]

Provo a darti una risposta anche se non ho capito esattamente quale sia la domanda.
Se la domanda è: "perché è quello l'andamento della corrente?" allora posso dirti che è quello perché.... valgono le leggi di kirchhoff! La LKT ci dice che in ogni istante deve essere uguale a zero la somma algebrica delle tensioni sui lati di una maglia. Nel tuo caso, la maglia è composta dal generatore ideale di tensione e dalla fem ; tale fem DEVE essere garantita affichè la LKT sia rispettata. Esprimendo poi il legame tra tensione e corrente in un iduttore ci si ricava l'andamento della corrente che tu stesso hai trovato. Lo ribadisco di nuovo in altri termini: la corrente che hai trovato deve esistere in modo tale da generare ai capi dell'induttore una fem tale da bilanciare la tensione del generatore e, quindi, fare sì che la LKT sia rispettata. Ora, tieni conto che le ipotesi che hai fatto ( L costante, assenza di effetti dissipativi, generatore ideale di tensione) sono ipotesi molto forti e assolutamente irrealizzabili. Di fatto, in queste condizioni, il transitorio non è smorzato. Puoi ben capire come una corrente che cresca all'infinito sia impossibile da ottenere. Quindi perché cercare di dare una spiegazione fisica a una cosa che fisica non è? Conviene ascoltare semplicemente quello che ci dice la matematica. Come ti ho già scritto all'inizio non so se era questo il quesito.
Ciao

[carloc]

In effetti è proprio così

solo direi che SamFisher hai pure esagerato con la matematica ...

una volta che scrivi che hai già finito

infatti hai che

dove poi con le tue condizioni al contorno i(0)=0

Il fatto poi che nella realtà non esistano generatori e induttanze ideali in grado di seguire questo comportamento "per sempre" non impedisce di dire che entro certe ipotesi modellare un circuito secondo quelle equazioni sia più che lecito.

Ad esempio è così che si studiano tutti gli alimentatori switching.... semplicemente si fa l'ipotesi di studiare un periodo di tempo molto più piccolo della costante di tempo del circuito L/R

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ti va di vedere quale è l'espressione di i(t) in questo circuito? e poi vedi se riesci ad approssimare questo risultato per

[SamFisher]

Fabio992
Ma so bene che è un sistema meramente ideale, io stesso l'ho detto. La mia domanda era, come ho già scritto sopra: cosa ne pensate? Cioè il ragionamento che mi porta a quella soluzione è corretto? Tutto qua.
Anche una massa libera da ogni vincolo spinta da un' unica forza, in assenza di attrito e di altri campi di forza è irrealizzabile, ma non dimentichiamoci che Galileo con la sua meravigliosa fantasia capì che le forze accelerano un corpo, non ne mantengono la velocità costante come tutti invece sostenevano...
Inoltre per il discorso sul transitorio, potremmo dire che in realtà questo sistema è "un eterno transitorio".
Inoltre la mia domanda ha senso, perché che tu ci creda o no, tutte le persone che studiano questa materia(come gli ingegneri elettrotecnici) mi hanno preso per scemo,rigettando a priori la mia soluzione, ma sta di fatto che nessuno ha dimostrato le proprie di soluzioni . Vedi ad esempio aldofad, il quale non vedendo un generatore in alternata ha subito concluso che non poteva esserci fenomeno dell'induzione.
Grazie per la tua risposta!!
___________________________________________________________
carloc
Lo faccio subito...intanto ti voglio ringraziare di cuore...guarda sono emozionato, non sto scherzando.....Ieri mattina sono stato preso quasi a parole, quasi insultato da una persona che dovrebbe invece insegnare a noi studenti, solo per aver proposto questa mia soluzione. Secondo lui invece una cosa del genere oltre a non avere senso era pure del tutto sbagliata, affermando che in questa situazione l'induttore si comporta da corto circuito. Questa persona mi ha detto:"lei così l' esame non lo preparerà mai se continua a porsi questi problemi e se non vuole accettare la mia soluzione...."
Ora ragionare insieme è una cosa, nascondere la verità è un'altra.

[PietroBaima]

Dal punto di vista fisico il sistema in questione non é strettamente passivo (sia quello elettrico che la sua analogia meccanica).

Un sistema meccanico che approssima l'analogia elettrica é un sistema massa molla, per un periodo molto breve di tempo, a cui abbiamo avuto cura di rendere trascurabile l'attrito (soprattutto quello viscoso, che é l'analogo meccanico piú vicino al comportamento di una resistenza).

Possiamo partire da un punto t0, in estensione della molla, svincolandola e lasciandola in evoluzione libera per t>t0.
Potresti, se vuoi, provare a farci un po' di calcoli sopra, magari scopri qualcosa

Mi piace particolarmente l'interpretazione di carloc, perché rende bene l'idea di cosa significhi il sistema dal punto di vista fisico. É una approssimazione che vedo sempre fare quando si studiano gli switching, che spesso non si considera a dovere, perché si é presi dai calcoli.
Se considero un periodo di tempo molto piccolo posso considerare trascurabile il contributo resistivo (e l'analogo attrito viscoso in meccanica) e vedere che l'andamento é quello che prevedi tu.

Il sistema fisico duale elettrico é quello di un condensatore alimentato da un generatore di corrente.
Come evolve la tensione ai capi del condensatore?

Prova a farci un po' di calcoli sopra e anche a trovare un equivalente meccanico o idraulico o pneumatico.

Bisogna poi metterci d'accordo su cosa si intenda per corto circuito. Se il tuo professore dice che l'induttore si comporta come un corto circuito (probabilmente perché pensa che la frequenza sia nulla) puoi rispondergli che allora la corrente circolante nell'induttore deve essere infinita e l'energia accumulata nel medesimo deve essere infinita al quadrato.
Quasi tutti (quasi perché ci sono anche quelli che dicono la cosa nel modo giusto) a questo punto concludono la cosa dicendo: c'é un qualche infinito nel sistema, quindi abbiamo sbagliato qualcosa.
Cerchiamo di dire la cosa nel modo giusto:
Qui si ha un paradosso fisico: se l'energia accumulata é infinita il sistema fisico deve avere avuto un tempo infinito per accumularla e quindi non possiamo sapere con certezza che la soluzione proposta per il nostro modello sia quella corretta. Quindi il problema non é nella realtá ma nel modello che ci siamo proposti di usare. Un infinito in un modello significa solo che c'é qualcosa che non abbiamo considerato che é diventato influente.

A questo punto devo fare una precisazione: devi considerare le condizioni iniziali.

Consideriamo l'induttore scarico, e accendiamo il generatore di tensione.
Cosa succede?
Se l'induttore é scarico la sua energia accumulata é nulla, quindi la corrente é nulla.
L'induttore si comporta come un circuito aperto e il generatore di tensione non eroga alcuna corrente.

Adesso ricordiamo la conservazione della carica magnetica:



che é un modo complicato per dire che se la carica non é piú presente in un determinato punto dello spazio (vedi la divergenza, cioé il movimento da un punto) é perché si é spostata altrove (vedi la derivata della carica).
Questa formula é l'equivalente microscopico della legge di Faraday-Lenz.
L'unico modo per non avere "assenza" o "presenza" di carica laddove c'era o non c'era é che... questa non si sposti.
Ma se c'é un lavoro per unitá di carica, da parte del generatore, non nullo allora la carica si sposta, e il lavoro del generatore é convertito in energia accumulata dall'induttore.
Il generatore continua a spostare cariche verso l'induttore (é il suo lavoro, in tutti i sensi) e non c'é nessuno che ne sposti definitivamente l'energia acquisita al di fuori del mondo elettrico (una resistenza).
Ovviamente succede che l'energia accumulata dall'induttore aumenta nel tempo (nessuno gliela toglie) e di conseguenza aumenta anche la corrente circolante nel circuito ().

Facendo i calcoli che hai fatto tu ne trovi l'andamento, che é lineare proprio per effetto della conservazione della carica.
Spero di averti dato una interpretazione un po' piú fisica del fenomeno.

A proposito: la cosiddetta forza elettromotrice é un termine errato ancora oggi in uso, per ragioni storiche. NON si tratta di una forza ma di un lavoro compiuto sulle cariche da parte del generatore di tensione.

Dato che ti piacciono le analogie meccaniche: si ha uno sciatore induttivo, a valle, il quale viene portato sul cucuzzolo della montagna dallo skilift che si siede tranquillo godendosi la sua energia potenziale gravitazionale acquisita. Lo skilift ha lavorato per lui contro il campo gravitazionale.
Cosa farebbe uno sciatore resistivo? E un duetto sciatore resistivo-sciatore induttivo vincolati insieme?

Ciao,
Pietro.

[PietroBaima]

"lei così l' esame non lo preparerà mai se continua a porsi questi problemi e se non vuole accettare la mia soluzione...."

"ok, non c'é problema. L'induttore é un corto. Passare l'esame é una cosa fattibile, trovare un problema sufficientemente facile per lei no."