Stabilità in anello chiuso con luogo delle radici

[stdio93]

Ne abbiamo risolti di molto più semplici a lezione

[dimaios]

Si`, certo che ce ne sono di piu` rapide. Ad esempio usare MATLAB, oppure chiedere a qualcuno, o ancora copiare dal vicino...

Oppure si usa MatitoCAD.

stdio93 lascio a te trovare il punto di incrocio degli asintoti sull'asse reale e relativo angolo rispetto all'asse.
Quello che troverai è una situazione tipo questa.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

A seconda di dove "cade" il punto P di incontro dei due poli inizialmente in 4 e -4 il sistema è sempre instabile ( caso sopra ) oppure bisogna discutere in base al guadagno.

Se espandiamo il denominatore della funzione di trasferimento troviamo :



Dobbiamo vedere quando questo polinomio è pari a :



Sviluppa il secondo polinomio e confrontalo con il primo.
Otterrai un sistema di equazioni con a e b incogniti.

a è il polo a sinistra mentre b è il punto di incontro dei poli in 4 e -4 ( infatti è lo stesso polo elevato al quadrato ovvero due poli coincidenti ovvero b = P ).
Per un certo guadagno ( che per ora non ci interessa determinare ) i due poli si incontrano da qualche parte.
Bisogna capire se b=P è a sinistra o a destra dell'origine.

Risolvendo in pochi passaggi si ottiene la soluzione.

Senza Matlab.