Equilibrio per rumore termico

[angel99]

Andare nel dettaglio di ciò che succede in quei resistori è molto interessante.

Un resistore ad una temperatura diversa da 0 K può essere modellato come un resistore a T=0K con in serie un generatore di tensione che generi la tensione di rumore definita per la specifica temperatura. Sostituendo in figura otteniamo

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Ra è stato sostituito da Ra (0K) e dal generatore Vna, mentre RB dalla serie equivalente. Poniamo ora per semplicità Ra=Rb. Questa semplificazione non restringe la validità delle valutazioni successive, ma aiuta a comprendere i concetti. E’ facile estendere poi il tutto al caso in cui i resistori abbiano valori differenti.

La figura mostra la condizione di equilibrio con Ta=Tb=T. Dato che T>0, nei conduttori scorre corrente. Se scorre corrente, i resistori dissipano potenza. Essendo i due ambienti adiabatici, ed essendoci una dissipazione di potenza al loro interno, è necessario che la stessa potenza dissipata sia anche assorbita, cosa che deve avvenire da parte dei generatori. In figura vediamo il bilancio delle potenze. Come ci si può aspettare, ogni resistore dissipa metà della potenza di ogni generatore e ogni generatore assorbe la stessa potenza dissipata da un resistore.

Senza conoscere nulla sulla natura di Vn, potremmo già affermare che il valore efficace di Vna è uguale al valore efficace di Vnb, condizione necessaria al rispetto del II principio della termodinamica.

Cosa c’è di interessante? Beh, ad esempio il fatto che ci sia circolazione di corrente in una maglia contenente elementi dissipativi, senza che vi sia consumo energetico. Se mi avessero posto la domanda ieri, probabilmente avrei risposto che era impossibile.

Ogni commento è sempre gradito.

[angel99]

Sempre facendo riferimento alla figura nel post [11], vediamo cosa succede se si parte da una condizione squilibrata con, ad esempio, Ta > Tb. A causa della differenza di temperatura, si ha Vna > Vnb, aumenta la corrente e di conseguenza tutte le potenze, sia assorbite che dissipate. La potenza dissipata nei due ambienti resta comunque la stessa (stessa corrente, stessa resistenza). Quella assorbita risulta invece differente, maggiore nell'ambiente A, dove la tensione del generatore è maggiore. L'effetto finale è quello di avere una maggiore dissipazione netta nell'ambiente B, che si scalderà, riequibrando la situazione inizialmente squilibrata.

[angel99]

Se consideriamo i due ambienti alla stessa temperatura, possiamo arrangiare il circuito in un modo leggermente diverso.

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I due generatori sviluppano la stessa tensione di rumore (sono alla stessa temperatura e si riferiscono a resistori dello stesso valore). Si vede subito che volendo, potremmo semplificare il circuito, trasformandolo in un equivalente con un solo resistore e un solo generatore. Doppia resistenza, doppia tensione di rumore, in accordo con la teoria del caso.

Veniamo ora alla parte più interessante di questo 3D. Cosa succede se al posto della connessione diretta tra i due resistori, interponiamo un bipolo qualsiasi, a patto che lo stesso sia di tipo non dissipativo? Ridisegnamo la figura 1 inserendo il componente identificato dalla X e valutiamo alcuni casi.

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Condensatore ideale. La banda passante per la corrente di rumore si riduce (si attenua per le frequenze più basse), ma la corrente risulta sempre la stessa per i due resistori e per i due generatori. Stessa potenza assorbita, stessa potenza dissipata. Il condensatore riduce il valore efficace della corrente circolante, ne modifica il contenuto spettrale, ma non provoca alcun cambiamento tipo energetico dal comportamento visto con la connessione diretta.

Induttore ideale. La banda passante per la corrente di rumore si riduce (si attenua per le frequenze più alte), ma la corrente risulta sempre la stessa per i due resistori e per i due generatori. Stessa potenza assorbita, stessa potenza dissipata. L’induttore riduce il valore efficace della corrente circolante, ne modifica il contenuto spettrale, ma non provoca alcun cambiamento tipo energetico dal comportamento visto con la connessione diretta.

Combinazioni serie/parallelo di condensatori/induttori. La banda passante per la corrente di rumore cambia in modo complesso, con effetti di risonanza, ma la corrente risulta sempre la stessa per i due resistori e per i due generatori. Stessa potenza assorbita, stessa potenza dissipata. La rete modifica il valore efficace della corrente circolante, e ne modifica il contenuto spettrale, ma non provoca alcun cambiamento di tipo energetico dal comportamento visto con la connessione diretta.

Adesso complichiamo la cosa e chiediamoci cosa succede se il componente è un diodo ideale. Il verso della corrente nel circuito con connessione diretta è determinato dalla polarità della tensione somma dei due generatori. Questa tensione dipende solo dalla temperatura ed è indipendente dal carico. Con o senza diodo, resterà la stessa. La corrente invece permarrà solo quando la tensione avrà una delle due polarità.

Se suddividiamo l’analisi in due tempi, possiamo considerare il circuito come composto da uno con connessione diretta e da uno in cui il circuito sia aperto. Il risultato è che in definitiva non cambia nulla perché la corrente circolante risulta sempre la stessa per i due resistori e per i due generatori. Stessa potenza assorbita, stessa potenza dissipata. Il diodo riduce il valore efficace della corrente circolante, ne modifica il contenuto spettrale, ma non provoca alcun cambiamento tipo energetico dal comportamento visto con la connessione diretta.

Un particolare curioso è quello dell’instaurarsi di una corrente continua nel circuito. All’inizio, l’idea di una corrente continua in un circuito nel quale sono presenti elementi dissipativi mi aveva turbato non poco. Guardando le cose con maggior attenzione, però, è tutto più che logico. Da un punto di vista energetico, la componente continua non gode di alcun privilegio rispetto a quella alternata dell’esempio senza diodo. La corrente scorre comunque, è una corrente con valore efficace finito, e trasferisce energia.

Se i due resistori si trovassero inizialmente a temperature diverse, la presenza del diodo (ideale) comporterebbe solo una differente funzione di trasferimento dell’energia tra A e B (e contemporaneamente tra B e A), modificando il tempo necessario al raggiungimento dell’equilibrio termico, ma nulla di più.

L’errata convinzione che questo circuito

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con diodo ideale sia una specie di pompa energetica in grado di trasferire calore da un resistore all’altro dovrebbe far sorgere immediati dubbi anche a chi ha solo la fisica delle superiori. Per molti motivi. Per primo il fatto che i due resistori sono in serie e nessuno dei due ha privilegi rispetto all’altro.

Le motivazioni sarebbero molte di più, ma credo basti e avanzi.

[IsidoroKZ]

I due generatori sviluppano la stessa tensione di rumore (sono alla stessa temperatura e si riferiscono a resistori dello stesso valore). Si vede subito che volendo, potremmo semplificare il circuito, trasformandolo in un equivalente con un solo resistore e un solo generatore. Doppia resistenza, doppia tensione di rumore, in accordo con la teoria del caso.

I due generatori non sviluppano la stessa tensione di rumore, niente tensione doppia: i due generatori di tensione sono scorrelati.

[angel99]

MI spiego meglio.

La tensione quadratica è doppia. Proprio perché i due generatori sono scorrelati.

La tensione dei due generatori in serie è quella di un generatore unico riferito ad una resistenza di valore doppio.

[DirtyDeeds]

L’errata convinzione che questo circuito

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con diodo ideale sia una specie di pompa energetica in grado di trasferire calore da un resistore all’altro dovrebbe far sorgere immediati dubbi anche a chi ha solo la fisica delle superiori. Per molti motivi. Per primo il fatto che i due resistori sono in serie e nessuno dei due ha privilegi rispetto all’altro.

Le motivazioni sarebbero molte di più, ma credo basti e avanzi.

In effetti hai ragione, devo fare ammenda

Di diodi ne servono almeno due, così:

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Appena riesco corroboro con qualche conto.

[angel99]

Di diodi ne servono almeno due, così:

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Anche questo circuito si comporta esattamente come l'altro.

L'analisi può essere fatta suddividendo i casi in modo binario, a seconda della condizione di conduzione o interdizione dei due diodi. Vediamoli. Il diodo orizzontale è D1, quello verticale D2.

D1=off, D2=off: triviale.

D1=on, D2=off: è il caso descritto nel post precedente.

D1=off, D2=on: è la resistenza R2 chiusa su se stessa. Nessun trasferimento energetico.

D1=on, D2=on: questo è l'unico caso veramente interessante. Se D2 conduce, la caduta ai suoi capi è zero. Da questo si deduce che tutta la corrente che scorre su R1 dissipa solo su R1. Analogamente, tutta la corrente che scorre su R2 dissipa solo su R2. Si ha in pratica il caso di entrambe le resistenze chiuse su se stesse.

Nessun effetto pompa.

[DirtyDeeds]

Consideriamo il circuito qui sotto, dove ho indicato anche i generatori equivalenti della tensione di rumore. Per semplicità di analisi considero le resistenze uguali.

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Vediamo per quali valori di ed si hanno i diversi stati di conduzione dei diodi e le corrispondenti potenze trasferite.

1. D1 on, D2 on: perché entrambi i diodi siano in conduzione, si deve avere e . Quando entrambi i diodi sono in conduzione, la tensione ai loro capi è nulla: le condizioni precedenti diventano
   
   
   
   da cui e .
   
   Come già osservato, qui non c'è trasferimento di potenza tra i due resistori.
2. D1 on, D2 off: qui bisogna avere e . Quando D2 è interdetto si comporta come un circuito aperto e quindi si ha
   
   
   
   da cui si ha e , ovvero .
   
   In queste condizioni, la potenza entrante in vale
   
   
   
   Dalla condizione trovata sopra, , si ha , ovvero trasferisce potenza a , e la scalda.
3. D1 off, D2 off: Qui si deve avere e , ovvero . Ovviamente, non c'è trasferimento di potenza.
4. D1 off, D2 on: qui si deve avere ed . Ovviamente, non c'è trasferimento di potenza.

Facciamo un grafico dei diversi stati nel piano :

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Ora, ed sono delle tensioni che fluttuano casualmente nel tempo e il punto di lavoro si sposta di conseguenza da un'area all'altra del piano disegnato sopra: poiché la potenza transitante da a è sempre positiva o nulla e mai negativa, si ha, in media, un trasferimento di calore dal lato sinistro a quello destro, violando così il secondo principio della termodinamica (abbiamo supposto i diodi ideali).

[angel99]

E ovviamente le potenze entranti nei generatori le tralasciamo.
Così, tanto per scrivere cazzate.

[DirtyDeeds]

E ovviamente le potenze entranti nei generatori le tralasciamo.
Così, tanto per scrivere cazzate.

Per dirla con parole adeguate al tuo livello comunicativo: i generatori non c'entrano una beata mazza.

I generatori sono un artificio di calcolo: ciò che conta è la potenza che transita da un sistema all'altro, cioè la potenza che attraversa la sezione tratteggiata in rosso nella figura sotto:

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Quella potenza vale, in ogni istante di tempo, ( perché D2 è un diodo ideale e non dissipa potenza). Quando D1 è in conduzione e D2 è interdetto, quella potenza vale proprio:



E' interessante notare che nel caso del circuito senza diodi, quella formula è stata anche verificata sperimentalmente. Vediamo cosa prevede l'equazione in questo caso (mi dispiace, anche stavolta, niente meccanica quantistica), considerando il caso in cui i due resistori possano essere a temperature differenti:

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La densità spettrale del valor medio quadratico dei due generatori di rumore vale

e

dove è la costante di Boltzmann e e sono le temperature termodinamiche dei due resistori.

Definiamo i due segnali:





Poiché e si ha





Questi due segnali vengono chiamate onde di potenza (sono più tipicamente associate ai parametri scattering usati in elettromagnetismo) perché permettono di decomporre la potenza come differenza di due potenze, , una viaggiante da verso e una viaggiante in direzione opposta. Tenendo conto delle (1) e (2), si ha

e

La differenza



è la densità spettrale della potenza che transita da verso , positiva se scalda , negativa viceversa.

Questa densità spettrale è misurabile (qui una misura) e il risultato sperimentale coincide con quello teorico.