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da **MassimoB** » 23 giu 2015, 19:17

Buongiorno a tutti

Durante lo studio di una funzione mi sono imbattuto in un dubbio sul calcolo di un limite, per essere precisi è relativo al calcolo di "q" nello studio degli asintoti obliqui.La soluzione del testo mi da questi passaggi ma ad un certo punto mi perdo, probabilmente ho qualche lacuna che non riconosco.

Qui lo svolgimento:

$\lim_{x\rightarrow\infty}{x}e^{-\frac{2}{x}}-1$

$\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{e^{-\frac{2}{x}}-1}{\frac{1}{x}}}-1$

$\lim_{x\rightarrow\infty}{-2}{\frac{e^{-\frac{2}{x}}-1}{\frac{1}{-2x}}}-1$

e qui inizia il dubbio

$t=-\frac{2}{x}$

$\frac{{e^t-1}}{t}$

che per i limiti notevoli mi da

$\lim_{t\rightarrow\ 0}\frac{{e^t-1}}{t}=1$

quindi il limite iniziale mi da come risultato

$-3$

ora mi chiedo perché uso un limite notevole per x che tende a 0 quando il mio limite di partenza tende a infinito?

da **PietroBaima** » 23 giu 2015, 19:37

Leggi qui.
In quel lungo post avevo discusso come trovare la retta asintotica di una funzione.
Cerca, nel post, la frase "Ricordando Analisi I, per trovare un asintoto obliquo si procede in questo modo:".
In generale nel thread avevo parlato del calcolo dei limiti, partendo da casi semplici per arrivare a casi più complessi.

Ciao,
Pietro.

da **MassimoB** » 23 giu 2015, 19:40

Grazie

da **MassimoB** » 23 giu 2015, 19:49

PietroBaima ho letto il tuo link e sicuramente sono talmente tonno da non aver trovato la giusta risposta ma non riesco a capire proprio come si arrivi da un limite tendente all' infinito ad un limite tendente a zero per risolvere l' esercizio.
Sarà che mercoledì ho l' esame e il mio cervello probabilmente è andato in pappa ma se puoi indirizzarmi mi fai un grosso piacere

da **ikim** » 23 giu 2015, 20:09

Nell'ultimo limite c'è un errore, ti sarai confuso. Quando hai fatto il cambio di variabile ti sei dimenticato di sostituire x con t. Dovrebbe essere:
$\lim_{t \to 0 }\frac{e^t - 1}{t}$

Comunque nel post di Pietro guarda quando fa il cambio di variabile. :-)

da **MassimoB** » 23 giu 2015, 20:14

cambiato, grazie :ok:

, mi ero confuso nella scrittura.
Sto leggendo proprio ora di nuovo il post cercando di capire dove mi perdo

da **PietroBaima** » 23 giu 2015, 20:14

Allora provo a svolgertelo io, così hai un esempio svolto.

Ti ricopio qui lo schema che avevo riportato in quel post:
La funzione di cui calcolare l'asintoto è

$f(x)={x}e^{-\frac{2}{x}}-1$

bisogna calcolare $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$ ;
$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
basta osservare che l'esponenziale tende ad 1 e x tende ad infinito.
se il limite è infinito si passa al punto seguente, altrimenti non c'è asintoto;
passiamo al punto seguente
bisogna calcolare $\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}$ ;
che fa 1.
se questo limite è finito e non nullo (chiamiamo questo valore m) significa che la funzione è confrontabile con una retta e si passa al punto successivo, altrimenti non c'è asintoto;
c'è asintoto, m=1, passiamo al punto seguente
bisogna calcolare $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-m\ x$ , se questo limite è finito (chiamiamo questo valore q) la funzione f(x) ha un asintoto obliquo a $y=m\ x+q$ altrimenti non c'è asintoto.
Il limite fa -3 (ti lascio calcolarlo per bene, leggi bene il mio post originale), per cui q=-3 e si ha asintoto obliquo alla retta y=x-3

Ho disegnato il grafico della tua funzione e della retta asintotica, per farti visualizzare meglio cosa capita:

: asint.gif (4 KiB) Osservato 4981 volte

In blu hai la funzione e in rosso tratteggiato la retta asintotica.

Il lavoro che devi fare è capire perché l'algoritmo che ho dato funziona e poi, all'esame, applicarlo pedissequamente.

Ciao,
Pietro.

da **MassimoB** » 23 giu 2015, 20:23

Ancora grazie Pietro :ok:

da **PietroBaima** » 23 giu 2015, 20:24

Prego, però adesso ti trovi? Se serve altro aiuto chiedi.

da **MassimoB** » 23 giu 2015, 20:33

E si sono proprio un tonno...

$t=-\frac{2}{x}$

ma

$-\frac{2}{x}$ tende a zero quindi di conseguenza è giusto

$\lim_{t\rightarrow\ 0}\frac{{e^t-1}}{t}=1$

A volte mi perdo in un bicchiere d' acqua.

PietroBaima ora mi trovo :ok: