Curiosità sulle permutazioni.

[TardoFreak]

Un saluto a tutti i partecipanti.
Sto ripassando le permutazioni, o meglio il gruppo delle permutazioni di funzioni biettive con l'operazione di composizione , e quindi i vari cicli disgiunti e compagnia cantante.
Le permutazioni (semplici e con ripetizioni) si trovano anche nel calcolo combinatorio e da qui la mia curiosità: mi pare di capire che, in qualche modo, queste sono in relazione fra di loro ma non riesco a capire in che modo.
Ancora, se per il calcolo combinatorio le permutazioni hanno un senso pratico, non riesco a trovare un senso pratico, un'applicazione del gruppo delle permutazioni.

Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a capire?

[PietroBaima]

Ho un'urna contenente 10 palline bianche, 20 verdi, 30 rosse e 5 blu.
Facendo 4 estrazioni consecutive, qual è la probabilità di estrarre una pallina per colore?

[cronos80]

Scusami PietroBaima, ma credo che la domanda di TardoFreak fosse sulle permutazioni di funzioni biettive

Ancora, se per il calcolo combinatorio le permutazioni hanno un senso pratico, non riesco a trovare un senso pratico, un'applicazione del gruppo delle permutazioni.

[TardoFreak]

Ho un'urna contenente 10 palline bianche, 20 verdi, 30 rosse e 5 blu.
Facendo 4 estrazioni consecutive, qual è la probabilità di estrarre una pallina per colore?

Si, ok, ma che c'entra con i cicli e gli scambi, con la composizione di cicli e la parità?

[DirtyDeeds]

o meglio il gruppo delle permutazioni di funzioni biettive

Scusami PietroBaima, ma credo che la domanda di TardoFreak fosse sulle permutazioni di funzioni biettive

Credo che stiate facendo un po' di confusione sulla terminologia TardoFreak e cronos80.

Permutazione è un sinonimo di funzione bijettiva, cioè una permutazione è una funzione bijettiva su un insieme finito. Quindi c'è il gruppo delle permutazioni (che è sinonimo di gruppo delle funzioni bijettive su un insieme finito).

Quello che fa il calcolo combinatorio è contare il numero delle permutazioni di un insieme di n elementi, cioè l'ordine del gruppo (la sua cardinalità in altre parole).

[PietroBaima]

Già.
Ma la probabilità quanto vale?

[TardoFreak]

Non te lo so dire perché nelle dispense di matematica discreta non si parla mai di probabilità.
Non me lo hanno insegnato -> non lo posso sapere.

[Sjuanez]

Se gli altri hanno fatto confusione coi termini io rischio di farla proprio con i concetti.

Dunque abbiamo una funzione bijettiva, che significa che trasforma l'insieme dei valori di partenza (il suo dominio) in un insieme immagine di pari numero. La relazione è di 1 a 1.

Questa funzione è la Permutazione nel nostro caso. Data una lista di valori, questa ne produrrà una permutata, dove gli elementi sono appunto cambiati di ordine, senza ripetizione.

La faccenda (dalla definizione di funzione bijettiva e anche intuitivamente) è completamente invertibile.

Ora PietroBaima domanda quant'è la probabilità che tale funzione restituisca una specifica tra le tante permutazioni possibili? (se ho capito bene)

Mi verrebbe da dire proprio una su tutte le possibili permutazioni:


Mi scuso se ho fatto troppa confusione, ma ho cercato di seguire l'argomento con i mezzi matematici che ho e forse avrei fatto meglio a leggere il giornale

[PietroBaima]

Sjuanez, non è così semplice, purtroppo, però le permutazioni c'entrano...
Quanto vale la probabilità di estrarre la sequenza Verde,Blu,Bianco,Rosso? E quella Rosso,Verde,Blu,Bianco?

TardoFreak, partiamo dal concetto precedente. Se ho un'urna con 10 palline bianche e 1 nera, qual è la probabilità di estrarre quella nera?
Chiamiamo le palline bianche a,b,c,d,e,f,g,h,i,j
Vediamo cosa posso estrarre quando infilo la mano nell'urna.

Posso estrarre a oppure b oppure c ... oppure j oppure la pallina nera.

Ho quindi 11 estrazioni possibili, le 10 palline bianche + quella nera.

Sono contento solo se estraggo la pallina nera, quindi sono contento in un solo caso su 11.

La probabilità di estrarre la pallina nera è quindi

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

[Sjuanez]

Pietro, innanzitutto grazie per dare seguito al mio intervento.

Ora se ho capito bene, stavolta, tu mi stai suggerendo di sommare la probabilità di estrarre ad ogni giro la pallina che va a formare la mia sequenza, quindi:

Se poniamo il caso di 10 palline di colore diverso, la probabilità di prendere una combinazione di 4 palline come le voglio io, sarebbe



Questo se non rimetto dentro la pallina dopo ogni estrazione, altrimenti:



Se così non è, dopo aver letto anche la tua spiegazione a TardoFreak, credo che io mi stia perdendo qualcosa. E in quel caso torno sui libri e vi lascio discutere che non vorrei rovinarvi il post con interventi banali.

Grazie ancora!