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da **Giuls91** » 19 set 2015, 9:13

Salve a tutti.
Ho risolto questa rete di primo ordine nel regime di LaPlace e vorrei sapere se procedo nel modo giusto.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nel dominio di LaPlace, dato lo stato zero con:

$V_{C_{1}}(0)=0V$
$V_{C_{2}}(0)=0V$

ottengo che:

$C_{1}=\frac {1}{sC_{1}}$
$C_{2}=\frac {1}{sC_{2}}$

$V_{g}(s)=\frac {100s}{s^{2}+4}$

in cui ho eseguito la trasformata di LaPlace della funzione sinusoidale della tensione.
La rete ha n=4 nodi e L=6 lati, quindi è indifferente utilizzare il metodo dei potenziali nodali (n-1=3 equazioni) oppure il metodo delle correnti di anello (L-n+1=3 equazioni).
Ho scelto di utilizzare il metodo dei nodi (ma ho anche utilizzato il metodo delle correnti di anello, in seguito), quindi ho trasformato il lato alla Thevenin in lato alla Norton. Per cui:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

con
$i_{g}(s)=\frac {V_{g}(s)}{R_{1}}=\frac {100s}{s^{2}+4}$ .

Collego a massa il nodo D, quindi $e_{D}=0$ , in modo tale che
$i=\frac {e_{C}}{R_{1}}$

$i_{2}=\frac {e_{A}-e_{C}}{R_{2}}$ .

A questo punto, sostituendo i valori numerici e passando alla forma canonica tenendo conto della corrente $i_{2}$ , ottengo il sistema:

$\begin{pmatrix} 2+s & -1 & -1 \\ -2 & 2+s & 1+s \\ -1 & -s & 2+s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{A}\\ e_{B}\\ e_{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -\frac{100s}{s^{2}+4} \end{pmatrix}$ .
Utilizzando il metodo di Cramer per la risoluzione del sistema, ricavo solamente il potenziale del nodo C, perché mi serve per trovare la corrente i.
Quindi:

$i(s)=e_{C}=\frac {-100s^{3}-400s^{2}-200s}{(s^{2}+4)(5s^{3}+8s+3)}$ .

La corrente da trovare i(t)

sarà quindi l'antitrasformata di LaPlace.
Agisco in modo corretto?
Spero di avere scritto tutto correttamente e in modo comprensibile.
Attendo vostri riscontri. :ok:

Buona giornata a tutti! O_/

E grazie

da **IsidoroKZ** » 19 set 2015, 9:38

Ho il sospetto che ci sia qualcosa che non va. E` solo un sospetto, non ho fatto i conti.

La rete e` del secondo ordine (perche' dici del primo ordine nel titolo?), il segnale di ingresso ha un denominatore di secondo grado, come fai ad avere un denominatore di quinto grado nel risultato?

Anche con le maglie hai ottenuto lo stesso risultato?

da **Giuls91** » 19 set 2015, 9:59

Rete del primo ordine perché ho imparato (almeno credo di aver capito così eheh) che se la rete è di tipo RC o RL, e non RLC, allora sarà di primo ordine perché vi è solo un componente condensatore o induttore, oltre al resistore, ma non entrambi. Sbaglio?
comunque antitrasformando dovrebbe risultare qualcosa tipo:

$i(t)=10e^{-t}-1.4e^{-0.6t}-30cos(2t)-38.2sen(2t)$ .

Utilizzando il metodo delle correnti di anello, ottengo un risultato simile. Simile perché devo ricontrollarlo in quanto ho il sospetto che ci sia qualche errore di calcolo, ma ottengo sempre la stessa forma ottenuta con il metodo dei potenziali nodali.
Posso provare a ricontrollare i calcoli, ma almeno per quel che riguarda i determinanti utilizzati per la risoluzione del sistema con il metodo di Cramer, sono sicura che siano esatti perché li ho calcolati utilizzando Wolfram Alpha sul web. Almeno io mi fido di questo strumento :-)

da **IsidoroKZ** » 19 set 2015, 10:22

Sono passato in posizione comoda per fare i conti. Il denominatore mi viene 5s^2+8s+3=(s+1)(3s+5)

quindi e` solo un lapsus sull'esponente. Il numeratore della funzione di trasferimento (senza il segnale V quindi) mi viene con due zeri coincidenti, anche se la cosa mi lascia perplesso.

L'ordine di una rete e` data da quanti componenti reattivi indipendenti ci sono: due condensatori indipendenti danno una rete del secondo ordine.

da **gotthard** » 19 set 2015, 10:53

La matrice delle ammettenze che hai scritto qui:

Giuls91 ha scritto: $\begin{pmatrix} 2+s & -1 & -1 \\ -2 & 2+s & 1+s \\ -1 & -s & 2+s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{A}\\ e_{B}\\ e_{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -\frac{100s}{s^{2}+4} \end{pmatrix}$

come può essere giusta?

Deve essere simmetrica, e dovrebbe essere:

$\begin{pmatrix} 2+s & -1 & -1 \\ -1 & 2+s & -s \\ -1 & -s & 2+s \end{pmatrix}$

da **Giuls91** » 19 set 2015, 10:58

gotthard ha scritto:La matrice delle ammettenze che hai scritto qui:
Giuls91 ha scritto: $\begin{pmatrix} 2+s & -1 & -1 \\ -2 & 2+s & 1+s \\ -1 & -s & 2+s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{A}\\ e_{B}\\ e_{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -\frac{100s}{s^{2}+4} \end{pmatrix}$

come può essere giusta?

Deve essere simmetrica, e dovrebbe essere:

$\begin{pmatrix} 2+s & -1 & -1 \\ -1 & 2+s & -s \\ -1 & -s & 2+s \end{pmatrix}$

Ho dimenticato di precisare che dopo aver sostituito i valori numerici e avere scritto $i_{2}=\frac{e_{A}-e_{C}}{R_{1}}$ , sono passata alla forma canonica, altrimenti non avrei potuto utilizzare il metodo di risoluzione di Cramer.

da **Giuls91** » 19 set 2015, 11:00

IsidoroKZ ha scritto:Sono passato in posizione comoda per fare i conti. Il denominatore mi viene quindi e` solo un lapsus sull'esponente. Il numeratore della funzione di trasferimento (senza il segnale V quindi) mi viene con due zeri coincidenti, anche se la cosa mi lascia perplesso.

L'ordine di una rete e` data da quanti componenti reattivi indipendenti ci sono: due condensatori indipendenti danno una rete del secondo ordine.

Grazie per la spiegazione, non ero a conoscenza di questa definizione.
Credo che forse tu abbia sbagliato la scomposizione di 5s^2+8s+3

, in quanto risulta essere (s+1)(5s+3)

.
Per quanto riguarda il numeratore della fdt non capisco perché calcoli gli zeri :?:

puoi spiegarmelo?

In ogni caso, calcoli a parte, vorrei capire se ciò che faccio è giusto. Se applico il metodo dei potenziali nodali correttamente e se procedo in maniera corretta. Anche perché ho ricontrollato i calcoli e sono giusti.
Antitrasformando l'espressione della corrente ottengo:

$i(t)=10e^{-t}-\frac{150}{109}e^{-\frac{3t}{5}}-\frac {3240}{109}sen(2t)-\frac{4160}{109}cos(2t)$

da **Giuls91** » 19 set 2015, 12:34

Utilizzando il metodo delle correnti di anello, una volta ricontrollati i calcoli, il risultato non cambia. L'espressione della corrente i(t) risulta sempre uguale a quella trovata utilizzando il metodo dei potenziali nodali.
Scrivo giusto per una questione di completezza :-)

Con il metodo delle correnti di anello, considero la rete:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

in cui considererò che J_1+J_2=i_2

e

.
La matrice canonica dopo aver sostituito i valori numerici sarà:

$\left[\begin{matrix}2+\frac{1}{s} & 1 & -\frac{1}{s} \\ 1 & 2+ \frac{1}{s} & 1 \\ -\frac{1}{s}-1 & 0 & 2+ \frac {1}{s}\end{matrix}\right] \left[\begin {matrix}J_1 \\ J_2 \\ J_3\end{matrix}\right] = \left[\begin {matrix} \frac{100s}{s^2+4} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]$

da cui trovo J_1

perché è la corrente che voglio trovare.
Poi sempre antitrasformando, ottengo l'espressione della corrente nel tempo.
Sbaglio qualcosa?

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