Hai trovato la persona sbagliata, non vorrei passare per uno bravo in elettrotecnica...
Comuqnue posto volentieri il procedimento: innanzitutto i valori in figura sono completamente messi a caso. I valori che ho utilizzato per arrivare alla soluzione sono: L1=15mH, L2=30mH, C1=0.1mF, E=90mV. Sappiamo che la rete è a riposo per t<0 e l'interruttore è aperto. Per t=0 l'interruttore si chiude; le richieste sono le espressioni delle correnti negli induttori. Si suppone inoltre che tutte le grandezze siano continue per t=0.
Possiamo subito determinare le condizioni iniziali dal testo, e dire che per t<0: iL1=iL2=0 e Uc=0. Sapendo che le grandezze sono continue posso scrivere:iL1(0-)=iL1(0+)=iL2(0-)=iL2(0+)=0 e Uc(0-)=Uc(0+)=0.
Ora possiamo passare allo studio per t>0.
Impostiamo subito le equazioni di Kirchhoff e le leggi di bipolo e le mettiamo a sistema (premetto che è la prima volta che uso LaTex e non so fare il sistema):

ora sostituiamo le leggi di bipolo nelle equazioni di Kirchhoff, e arriviamo al seguente sistema, e dopo qualche sostituzione arriaviamo alla seguente equazione differenziale non omogena di terzo grado con la sola incognita iL1:

La soluzione sarà data dalla somma della soluzione omogena e di una soluzione particolare:

.
Sostituendo i numeri, troviamo l'equaizone caratteristica, che è:

le cui soluzioni sono

e

La soluzione omogenea avrà quindi la forma

dove B e D sono costanti da determinare imponendo le condizioni iniziali (ho messo D invece di C per non confonderlo col condensatore).
Dall'equazione differenziale possiamo vedere che si può cercare la soluzione particolare nella forma:

dove A è possibile determinarla direttamente dall'equaizone differenziali sostituendo a iL1, iL1p, ottenendo quindi

->

.
All'istante t=0 sappiamo che iL1=0 quindi imponendo ciò abbiamo:

-> t=0

.
Adesso bisogna sfruttare le altre condizioni inziali, e sapendo che:
![U_{C1}=L1\frac{d}{dt}i_{L1}=L_1\frac{d}{dt}[Bcos(1000t)+Dsin(1000t)+At]=L_1*(1000*D*cos(1000t)+2) U_{C1}=L1\frac{d}{dt}i_{L1}=L_1\frac{d}{dt}[Bcos(1000t)+Dsin(1000t)+At]=L_1*(1000*D*cos(1000t)+2)](/forum/latexrender/pictures/87733af16542131129b04f9c90ac8143.png)
->t=0->

->D=-2*10^(-3).
Ora possiamo scrivere l'espressione di iL1:

La iL2 la si può trovare sostituendo l'espressione appena trovata nel primo sistema.
Spero sia corretto e comprensibile

Ci sono 10 tipi di persone: quelle che conoscono il sistema binario e quelle che lo ignorano.
...We are Motörhead, and we play rock 'n' roll...