Calcolo coefficienti di fourier

[ellosma]

Ciao :) avrei bisogno del vostro aiuto per un esercizio di teoria dei segnali. Devi calcolare i coefficienti di fourier della funzione dove la funzione Sgn esprime il segno di x, quindi suppongo ci sia da fare sia per segno positivo che negativo. Io ho svolto il calcolo di per l'integrale in T_0 del prodotto tra la funzione e ma il risultato che ottengo non è nemmeno paragonabile a quello del mio esercitatore , che ottiene . Nel mio risultato 1/T_0 si elimina e oltre ad avere la funzione sinc ( 2 pi f_0 t) ho anche un parte con il coseno e entrambe le funzioni periodiche mi vengono moltiplicate per e ^(- j 2 pi k f_0 t ). Prima di tutto vorrei capire se l'integrale di partenza che ho svolto e' corretto oppure se per questo tipo di funzione devo svolgerne un altro. Inoltre vorrei capire come risolvere l'integrale per parti di seno e esponenziale in questo caso. So farlo nel caso più semplice ma con esponenziali e argomenti di questo tipo purtroppo ho tantissimi problemi. Grazie!

[MarcoD]

Posso aiutarti poco, è da decenni che non mi interesso di trasformate/serie di Fourier.

Cosa è esattamente la funzione segno ? Vale +1 oppure -1 in funzione del segno di sen.. ?
E' un segnale che squadra la funzione seno ?

da Eulero e^(Jx) = cos (X) + J sen (X)

Se si e se la funzione seno è una funzione dispari i termini coseno sono nulli.

[ellosma]

Si trovino i coefficienti di Fourier perché del segnale x( t ) = sgn [sen(2π f0 t)] e se ne traccino i grafici di modulo e argomento, essendo sgn [·] la funzione segno.

Questo purtroppo è' tutto quello che so riguardo alla funzione :/ essendo indicata come la funzione segno io l'ho interpretata come positiva e negativa

[Russell]

sai disegnare, nel dominio tempo, la funzione di cui chiedi la transformata?

vedrai che a quel punto dovresti trovare la strategia di azione anche da sola

[ellosma]

Disegnandola ho pensato , e probabilmente sparo la cavolata del secolo , che la funzione sgn() potrebbe essere la funzione costante e non una funzione che indica se il seno e ' positivo o no. Un questo modo avrei che il seno , che ho disegnato , sarebbe costante a uno e meno 1 nei suoi picchi. Quindi sarebbe uguale , graficamente a un segnale a impulso rettangolare periodico. Ma non so se il mio ragionamento ha senso

Russel

[Russell]

si, esatto, sign(sin(...)) in pratica è un segnale ad onda quadra.
In sostanza l'ampiezza della sinusoide va persa definitivamente, e puoi pensare che sia stata fatta saturare ai livelli -/+1.

Ora, se sai che la trasformata della funzione rect è la funzione sinc, non sai concludere?

PS. C'è da dire che la soluzione del tuo prof è comunque incompleta, mancano un paio di termini, ma immagino che prima di tutto volesse la parte principale della trasformata, transcurando altri eventuali cavilli

[deltax]

Secondo me, se la funzione sgn è la funzione segno, devo semplicemente considerarla +1 quando sin(x)>0, -1 quando sin(x)<0, 0 quando sin(x)=0, come da defininzione della funzione segno (con x= 2*pi*f*t).
Quindi in sostanza avrai una funzione che è +1 per 0<t<pi/f0, 0 per t=pi/f0 e -1 per pi/f0<t<2*pi/f0, ed ha periodicità 2*pi/f0. Da qui, calcolare la trasformata di fourier dovrebbe essere semplicissimo

[ellosma]

si, esatto, sign(sin(...)) in pratica è un segnale ad onda quadra.
In sostanza l'ampiezza della sinusoide va persa definitivamente, e puoi pensare che sia stata fatta saturare ai livelli -/+1.

Ora, se sai che la trasformata della funzione rect è la funzione sinc, non sai concludere?

PS. C'è da dire che la soluzione del tuo prof è comunque incompleta, mancano un paio di termini, ma immagino che prima di tutto volesse la parte principale della trasformata, transcurando altri eventuali cavilli

Ora mi risulta

[Russell]

non sei lontana dalla soluzione: la sinc(x) equivale ad un sen(x)/x, se si tiene conto dello sviluppo della funzione seno mediante somma di 2 esponenziali complessi direi che ti manca solo un termine per far tornare le cose. Forse ti scordi di analizzare le frequenze negative... dovrei vedere i tuoi passaggi.
Ad ogni modo puoi trovare in rete la soluzione esatta, poiche' la trasformata della funzione onda quadra (a media nulla) è un esempio notevole citato in tutti i manuali
ad es:
http://www.thefouriertransform.com/transform/fourier.php

[ellosma]

non sei lontana dalla soluzione: la sinc(x) equivale ad un sen(x)/x, se si tiene conto dello sviluppo della funzione seno mediante somma di 2 esponenziali complessi direi che ti manca solo un termine per far tornare le cose. Forse ti scordi di analizzare le frequenze negative... dovrei vedere i tuoi passaggi.
Ad ogni modo puoi trovare in rete la soluzione esatta, poiche' la trasformata della funzione onda quadra (a media nulla) è un esempio notevole citato in tutti i manuali
ad es:
http://www.thefouriertransform.com/transform/fourier.php

Comincio a trovare un senso al mio risultato, integrando da T0 a 0 non ottengo la forma necessaria per ricavare la funzione sinc quindi ho integrato per T/2 a -T/2 ed ora ho ottenuto come risultato

Ps scusa se ti stalkero!