ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **novizio** » 14 mar 2016, 22:18

Grazie Gost91,
mi leggo il tutto con attenzione e poi ti rispondo. Spero di poter rimuovere il dubbio che mi ha condotto ad aprire il thread.

Ancora grazie.
:-)

da **novizio** » 16 mar 2016, 13:57

Ho letto quanto pubblicato da Gost91, che ringrazio ancora, ed ho, conseguentemente, rimosso parte dei dubbi che nutrivo sull'argomento.

Me ne rimane ancora uno. Si tratta di questo.
Nel testo da cui ho tratto le figure che ho pubblicato nel mio secondo intervento si afferma che il campionamento flat-top produce una distorsione che è funzione della frequenza.
Non trovando la giustificazione teorica di questa affermazione, ho provato a costruirmela da me.

da **novizio** » 16 mar 2016, 14:01

Sono partito, per fissare le idee, da un segnale analogico semplice: un segnale armonico. Quindi ho supposto di campionarlo con un treno di impulsi di ampiezza unitaria (Ap=1), con periodo uguale al periodo di campionamento, Tc, e con una certa durata dell'impulso, tau.

(Mi scuso per non aver usato Latex, in questo intervento, data la mia ruggine inerente l'uso dello strumento. Ho invece usato MS Equation, di Word, provvedendo, successivamente, ad acquisire il tutto come file immagine e pubblicarlo a corredo del mio intervento. Chiedo venia ancora).

da **novizio** » 16 mar 2016, 14:13

Il treno d'impulsi è un segnale periodico e, pertanto, essendo anche limitato in ampiezza, soddisfa le condizioni imposte da Fourier per il suo sviluppo in serie di funzioni trigonometriche. Se l'ampiezza è unitaria, così come l'ho imposta, il suo sviluppo è quello mostrato in figura.

Possiede quindi uno spettro il cui inviluppo segue la funzione seno cardinale e le righe costituenti le armoniche sono equidistanziate di distanza 1/Tc.

da **novizio** » 16 mar 2016, 14:19

Supponendo, come si è già detto, che il segnale analogico sia una semplice funzione armonica, diciamo di tipo coseno, avente ampiezza e frequenza, rispettivamente pari a Va e fa, il prodotto analogico che si riscontra all'uscita del mixer corrisponderà al nostro segnale campionato sc(t).

: EY4.png (7.67 KiB) Osservato 7892 volte

Analizziamo ora questa espressione: il primo termine è, in buona sostanza, il segnale analogico di partenza con un'ampiezza modificata in modo moltiplicativo (ma non dipendente da fa).

Il secondo termine è il prodotto della prima armonica dello sviluppo in serie di Fourier del treno d'impulsi per l'armonica del del segnale analogico.

da **novizio** » 16 mar 2016, 14:49

Se applichiamo, al secondo termine, una delle quattro formule di Werner:

: EY5.png (1.56 KiB) Osservato 7885 volte

con lo scopo di sciogliere il prodotto trasformandolo in due addendi, otteniamo:

da **novizio** » 16 mar 2016, 15:16

L'ultima espressione corrisponde a due righe spettrali a frequenza fc-fa ed fc+fa.

Applicando Werner al termine successivo, ometto i passaggi, si otterrano due righe a frequenza 2fc-fa e 2fc+fa. E così via, fino all'infinito, per i termini successivi.

Le ampiezze di tali righe spettrali seguono il noto inviluppo della funzione seno cardinale.

Ora, e concludo, se ci concentriamo sul primo termine, ovvero il nostro segnale analogico di partenza, questo ha certamente subito una modifica dell'ampiezza, ma tale modifica non è funzione della frequenza.
Ecco, spero di aver rappresentato qual è il mio dubbio.

:-)

da **Gost91** » 16 mar 2016, 21:30

Anche se la sostanza non cambia, prima ancora di risponderti

novizio correggo un paio di imprecisioni del post precedente, che ho notato adesso rileggendomi.

Gost91 ha scritto:Campionamento ideale

[...] Tanto per fissare le idee, supponiamo (ad esempio) che il segnale analogico di partenza abbia spettro triangolare e banda 2B, cioè

$S_\text{a} (f) = S_\text{a} (0) \, \text{tri} (f/B)$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Supponiamo inoltre che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di campionamento, ad esempio per , allora lo spettro del segnale campionato è il seguente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il grafico corretto è questo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Gost91 ha scritto:Campionamento naturale
[...] la curva inviluppo in chiaro è il prolungamento continuo di $\text{sinc}(\tau n / T_c)$ , ossia $\text{sinc}(\tau f / T_c)$ .

ad essere più precisi il prolungamento continuo, per questioni dimensionali, si ottiene formalmente sostituendo l'argomento adimensionale discreto

con l'argomento ancora adimensionale ma continuo

, dove k è una costante, anche unitaria, delle dimensioni di un tempo:

$\text{sinc}(\tau n / T_c) \to \text{sinc}(\tau kf / T_c)$

Gost91 ha scritto:Campionamento ZOH
[...] e può essere riscritta nel seguente modo

$\begin{aligned}s_\text{c}(t) =\sum_{n\in\mathbb{Z}}s_\text{a}[n] \, \text{rect}\left(\frac{t-nT_c}{\tau}\right) &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}s_\text{a}[n] \, \text{rect}\left(\frac{t-nT_c}{\tau}\right)*\delta(t-n T_c) \\ &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}s_\text{a}[n]\delta(t-n T_c)* \text{rect}\left(\frac{t-nT_c}{\tau}\right) \end{aligned}$

l'ultimo passaggio è fuorviante, mi sono tirato dietro troppa roba. Una versione migliore

$\begin{aligned}s_\text{c}(t) =\sum_{n\in\mathbb{Z}}s_\text{a}[n] \, \text{rect}\left(\frac{t-nT_c}{\tau}\right) &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}s_\text{a}[n] \, \text{rect}\left(\frac{t-nT_c}{\tau}\right)*\delta(t-n T_c) \\ &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}s_\text{a}[n]\delta(t-n T_c)* \text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) \end{aligned}$

definendo

$h(t):= \text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) \leftrightarrow H(f)=\tau \, \text{sinc}(\tau f)$

si conclude che

$\boxed{S_\text{c}(f)=S_\text{ci}(f)H(f)=\frac{\tau}{T_c}\, \text{sinc}(\tau f) \sum_{n\in\mathbb{Z}}S_{\text{a}}(f-n/T_c)}$

Gost91 ha scritto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il grafico della risposta in fase di H(f) è errato in quanto non è lineare a tratti, ma bensì costante a tratti in quanto

$\angle H(f)=\begin{cases} 0 & \text{se } \text{sinc} (\tau f) \geq 0\ \\ \pm\pi & \text{ altrimenti} \end{cases}$

pertanto, tenendo conto del fatto che il diagramma di fase di una funzione reale è simmetrico, è

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Bene, vengo adesso alle questioni irrisolte.

novizio ha scritto:Nel testo da cui ho tratto le figure che ho pubblicato nel mio secondo intervento si afferma che il campionamento flat-top produce una distorsione che è funzione della frequenza.
Non trovando la giustificazione teorica di questa affermazione[/user]

Come già osservato nel post precedente, il termine "distorsione" è da leggersi come "variazione di forma dello spettro", da leggersi ancora come "non proporzionalità tra spettro del segnale campionato e spettro del segnale da campionare".

Questo fatto si legge nella linearità della trasformata di Fourier, infatti se due segnali hanno spettri tra lo proporzionali, allora i segnali stessi sono proporzionali tra loro (quindi hanno la stessa "forma").
Viceversa, se due segnali hanno spettri tra loro non proporzionali allora i due segnali non sono proporzionali tra loro (quindi non hanno la stessa "forma"-leggi distorsione).

Un altro modo di vederla è: se due spettri non sono tra loro proporzionali allora uno dei due segnali ha delle componenti armoniche più o meno esaltate rispetto le componenti armoniche dell'altro.

Veniamo a noi. Ora, per quanto riguarda il campionamento ZOH si è trovato la seguente relazione che caratterizza lo spettro del segnale campionato

$S_\text{c}(f)=\frac{\tau}{T_c}\text{sinc}(\tau f) \sum_{n\in\mathbb{Z}}S_{\text{a}}(f-n/T_c)$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

tagliamo via gli alias, che non ci interessano, applicando un filtro in banda base (di anti-aliasing):

$S_\text{c}'(f)=\bigg[\frac{\tau}{T_c}\text{sinc}(\tau f) \sum_{n\in\mathbb{Z}}S_{\text{a}}(f-n/T_c)\bigg ]\,\text{rect}\left(\frac{f}{2B}\right)=\frac{\tau}{T_c}\text{sinc}(\tau f) S_{\text{a}}(f)$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

bene, abbiamo ora una relazione che lega lo spettro del segnale campionato e lo spettro (privato, per mezzo del precedente filtraggio, delle repliche non in banda base) del segnale da campionare.

Sono tra loro proporzionali? Risposta: no! - il loro rapporto non è costante in quanto dipende dalla frequenza

$S_\text{c}'(f)/S_{\text{a}}(f)=\frac{\tau}{T_c}\text{sinc}(\tau f)$

ti faccio notare che $\tau/T_c$ , ossia il duty cicle del treno di impulsi che pilota il campionamento, è un parametro di progetto, quindi da considerare costante.

Insomma, i due spettri non sono proporzionali, quindi lo ZOH è intrinsecamente (leggi "anche senza errore di aliasing") distorcente.

fantomatico libro ha scritto:il campionamento flat-top produce una distorsione che è funzione della frequenza.

E come si quantifica la distorsione? a mio modesto avviso, o c'è distorsione o non c'è distorsione (ora o=xor :mrgreen:

).

Al più quello che si può dire è che quasi non c'è distorsione. Come già osservato nel post precedente, quanto la durata dell'impulso è piccola (rispetto alla banda del segnale da campionare), si può dire che la distorsione è trascurabile in quanto il fattore di distorsione $\text{sinc}(\tau f) \approx 1$ .
Nota però che allo stesso tempo anche il rapporto tra i due spettri tende a 0, dunque è anche necessario amplificare il segnale campionato al fine di ottenere un buon campionamento.

novizio ha scritto:Sono partito, per fissare le idee, da un segnale analogico semplice: un segnale armonico.

Parliamo allora della risposta armonica del campionatore ZOH. Riprendiamo in considerazione, per semplicità, il sistema dato dalla cascata di uno ZOH e di un filtro di anti-aliasing.
Il rapporto tra l'ingresso e l'uscita definisce la funzione di trasferimento del sistema, che se valutata sull'asse immaginario si riduce alla risposta armonica del sistema ZOH+filtro anti-aliasing.

Per quanto appena detto la risposta armonica del sistema allora è proprio

$H(f)=S_\text{c}'(f)/S_{\text{a}}(f)=\frac{\tau}{T_c}\text{sinc}(\tau f)$

In accordo al teorema della risposta armonica, si può scrivere che

$\begin{aligned} s_c'(t) &=V_0 |H(f_0)|\cos (2\pi f_0 t+\angle H(f_0))\\ &=V_0\frac{\tau}{T_c}\left|\text{sinc}(\tau f_0)\right|\cos (2\pi f_0 t+\angle H(f_0))\end{aligned}$

quando l'ingresso è $s_a(t)=V_0\cos (2\pi f_0 t)$ . Se ho capito bene, questa relazione esprime quanto volevi provare:

l'ampiezza dell'uscita dipende dalla frequenza attraverso

, quindi il sistema distorce in ampiezza

spero di aver districato il dubbio.

novizio ha scritto:Quindi ho supposto di campionarlo con un treno di impulsi di ampiezza unitaria (Ap=1), con periodo uguale al periodo di campionamento, Tc, e con una certa durata dell'impulso, tau.

Non ho ancora ricontrollato il tuo calcolo e il tuo ragionamento, in quanto già dalle premesse è impreciso.
Per prima cosa ti devi assicurare di non aver errore di aliasing, altrimenti a conti fatti, anche se corretti, potresti giungere a conclusioni fuorvianti.

Se il dubbio non l'ho risolto, riprova a ragionare nell'ipotesi che sia soddisfatto il teorema del campionamento.

da **novizio** » 20 mar 2016, 17:29

Mi collego solo ora, settimana campale! :cry:

Grazie per le risposte, Gost91, molto puntuali. Le ho già lette una volta, ma non è sufficiente.
Rileggerò ancora con attenzione: sono sicuro che riuscirò a dissipare il mio dubbio.

Ancora grazie per il tuo tempo.

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Distorsione da campionamento flat-top

[11] Re: Distorsione da campionamento flat-top

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