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da **fairyvilje** » 16 mar 2016, 17:02

cronos80 ha scritto:Sempre lo stesso discorso...f è discontinua in partenza, non è l'integrale ad esserlo.

Perdonami ma a meno di un mio errore nello scrivere quella famiglia di funzioni sono tutte continue essendo triangoli centrati in n+1 di area unitaria.

cronos80 ha scritto:Se la definizione dell'integrale/derivata fosse dipendente dal dominio non si potrebbe definire il metodo di integrazione per parti.

Chi ha parlato di dominio per funzioni?

Per il resto mi riservo un po' di tempo :)

da **cronos80** » 16 mar 2016, 18:44

fairyvilje ha scritto:Perdonami ma a meno di un mio errore nello scrivere quella famiglia di funzioni sono tutte continue essendo triangoli centrati in n+1 di area unitaria.

Scusami tu! Hai ragione la funzione che hai scritto è continua, ma non derivabile: ho creato un po' di confusione omettendo il derivabile (nei miei commenti finora ogni qualvolta ho scritto continua intendevo continua e derivabile, non edito per consentire la leggibilità del topic) #-o

fairyvilje ha scritto:Chi ha parlato di dominio per funzioni?

Forse ho frainteso...ma adesso sono fuso e non capisco più nulla... :oops:

da **Gost91** » 23 mar 2016, 2:35

Prima di tutto chiariamoci sulle notazioni, facendo riferimento al significato ordinario di derivata.

subliminal ha scritto:In generale abbiamo che
$\int_{a}^{x} f(t) \, dx = F(x)$

Allora

[ ponendo ]

Diciamo che se si definisce $F(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ come la funzione integrale di $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ , ossia

$F(x):=\int_a^x f(t)\text{ d}t \quad \forall x \in [a,b]$

allora se

è integrabile, per esempio essendo almeno continua sul compatto [a,b]

, vale il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, ossia

$F(x):=\int_a^x f(t)\text{ d}t \Rightarrow F'(x)=f(x) \quad \forall x \in [a,b]$

In altri termini, la funzione integrale di

, cioè

, è una primitiva di

stessa.

Prima di andare avanti ti faccio notare che

, che può essere fissato a piacere in [a,b]

, è l'argomento della funzione integrale, mentre

è l'indice di integrazione (che, come negli indici delle sommatorie, gioca il ruolo di variabile muta), e questo, una volta fissato

, durante l'integrazione varia con continuità da

a

.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

subliminal ha scritto:Riscrivendo quindi abbiamo che:

$F'(x) = {d \over dt} [ \int_{a}^{x} f(t) \, dx] = f(x)$

Diciamo che sarebbe

$F'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\int_a^x f(t)\text{ d}t\right]$

poi, se

fosse almeno continua in [a,b]

, si avrebbe anche

$F'(x)=f(x) \quad \forall x \in [a,b]$

e quindi

$\boxed{f(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\int_a^x f(t)\text{ d}t\right]} \quad \forall x \in [a,b]$

Nota bene che quest'ultima uguaglianza è vera sotto certe ipotesi (ripeto:

almeno continua in [a,b]

), quindi non è vera in generale.

In senso ordinario, cioè senza tirare in ballo le distribuzioni, un semplice contro esempio è dato dalla funzione segno [non continua in x=0

], la cui funzione integrale è la funzione valore assoluto.

In tal caso $F'(x)=\text{d}/\text{d}x[|x|]$ non è definita in x=0

, pertanto l'uguaglianza F'(x)=f(x)

, che in questo caso si scrive come $\text{d}/\text{d}x[|x|]=\text{sgn}(x)$ , è vera a patto di considerare solamente gli intervalli [a,b]

che non comprendono l'origine.

subliminal ha scritto:vale anche il viceversa ?

$\int_{a}^{x} [ {d \over dt} f(x) ] \, dx = f(x) = ?$

Non mi è molto chiaro cosa intendi per viceversa, perché la relazione

$\int_{a}^{x} [ {d \over dt} f(x) ] \, dx = f(x) = ?$

può essere letta in molti modi differenti. Quello che per primo mi salta all'occhio consiste nel vedere

come funzione di

attraverso una certa funzione x=g(t)

. Tuttavia la tua scrittura ricorda molto la relazione

$\boxed{\int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F(x)]\text{ d}x=F(b)-F(a)} \qquad (1)$

cosa che mi fa credere che tu intendessi chiedere

$\int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F(x)]\text{ d}x=F(b)-F(a)=?$

Questa relazione è una diretta conseguenza del primo teorema del calcolo integrale, il quale afferma che se f(x)

è una funzione almeno continua su [a,b]

e

è una sua primitiva su [a,b]

allora

$\int_a^b f(x) \text{ d}x=F(b)-F(a)$

Nota che a differenza del quesito precedente riguardante le funzioni integrali, adesso non si ragiona in termini di funzioni ma bensì di quantità scalari.

Alla (1)

ci si arriva immediatamente osservando che, grazie al fatto che su tutto il dominio di integrazione la funzione F(x)

è una primitiva di f(x)

, si può scrivere f(x)

come

, quindi

$\begin{cases} \int_a^b f(x) \text{ d}x= &F(b)-F(a) \\ \int_a^b f(x) \text{ d}x= &\int_a^b F'(x) \text{ d}x=\int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F(x)] \text{ d}x \end{cases}$

da cui segue la (1)

, in accordo con quanto scritto precedentemente (con qualche imprecisione) da

EcoTan.

E' bene osservare nella (1)

non figura f(x)

ma una sua primitiva, quindi è necessario tradurre le ipotesi in termini di F(x)

. Si è detto che la relazione è valida quando f(x)

è almeno continua, il che presuppone F(x)

almeno derivabile. Questo perché la generica primitiva F(x)

può essere scritta come

$F(x)=\int_a^x f(t) \text{ d}t+c \qquad c\in\mathbb{R}$

dove

è una costante arbitraria. Il primo addendo, funzione integrale di f(x)

, è derivabile in tutto [a,b]

in virtù del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, e allo stesso modo anche il secondo, essendo una costante. La loro somma, per l'algebra delle derivate, è ancora derivabile in tutto [a,b]

.

In conclusione:

La prima relazione

$\boxed{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\int_a^x f(t)\text{ d}t\right]=f(x)} \quad \forall x \in [a,b]$

è vera quando è continua in tutto .
La seconda relazione (a cui si può formalmente sostituire con , dato che entrambe sono due generiche funzioni assegnate)

$\boxed{\int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)]\text{ d}x=f(b)-f(a)}$

è vera quando f è derivabile in tutto [a,b].

Prima di chiudere un'ultima (ed ulteriore) considerazione sulla diversità tra funzione integrale e integrale definito. In generale si ha che

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\int_a^b f(x)\text{ d}x \right]=0\neq\int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)]\text{ d}x=f(b)-f(a)$

anche nell'eccezione f(b)=f(a)

la disuguaglianza sussite, in quanto lo

a secondo membro non è uno

scalare ma la funzione identicamente nulla su [a,b] ossia $0(x):[a,b]\to 0$ .

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