ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **dimaios** » 20 apr 2016, 9:31

Non conosco nello specifico il libro di testo che utilizzi.

Avendo studiato a Padova non posso consigliarti i libri che ho utilizzato perché si riferiscono alla teoria unificata dei segnali che si tratta solo in quell'ateneo.

Un libro di riferimento ( ai miei tempi :cool:

) era Signal and System di Alan V. Oppenheim ( sempre lui .... il mago del signal processing ).

E' un libro classico per cui ha un formato non molto 'digeribile' ma c'è tutto quello che serve.

Nello specifico ti consiglio di fare una ricerca su internet e trovare delle dispense ben fatte ... ce ne sono tantissime ed alcune di pregio.

da **oiram92** » 21 apr 2016, 20:14

Innanzitutto grazie per il consiglio, ho passato tutto ieri e oggi a cercare dispense online. Diciamo che purtroppo non sono riuscito a trovare proprio tutto quello che mi serviva per chiarirmi le idee (quei pochi esercizi "interessanti" che si trovano non usano (quasi) mai il sinc che oramai è diventata la mia bestia nera..).

Dunque, volevo proporre un esercizio per vedere se sono riuscito a fare qualche progresso in questa materia.

Traccia

Sia $x(t) = 500\cdot sinc^2(1000t)$ e sia y(t)

definito come :

$y(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(t-kT)$

Si supponga che il segnale y(t)

vada in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui risposta all’impulso è data da :

$h(t) = 200 \cdot sinc(200t) \cdot cos(800 \pi t)$

e sia z(t)

il segnale in uscita. Assumendo $T=\frac{1}{400}\;s$ , calcolare :

1) Valore medio, Energia e Potenza di x(t)

2) Valore medio, Energia e Potenza di y(t)

3) Il valore y(0)

4) La risposta in frequenza e l'espressione di z(t)

5) Valore medio, Energia e Potenza di z(t)

6) La frequenza di campionamento del segnale z(t)

Svolgimento

1) Inizio calcolando la trasformata di Fourier del segnale x(t)

$X(f) = 500 \cdot \left[ \frac{1}{1000} \cdot tr \left(\frac{f}{1000} \right) \right] = \frac{1}{2} \cdot tr \left(\frac{f}{1000} \right)$

Il valore medio è pari a $X(0) = \frac{1}{2} \cdot tr(0) = \frac{1}{2}$

Per il calcolo dell'energia applico il teorema di Parseval, quindi :

$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} X^2(f) df = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} \left(tr \left( \frac{f}{1000} \right)\right)^2 df$

Questo dovrebbe essere un impulso triangolare centrato nell'origine (simmetrico rispetto all'asse verticale) e avente semi-ampiezza di base pari a 1000

. Essendo simmetrico posso calcolare l'area di metà triangolo e moltiplicarla per due, quindi restrigendo l'integrale a [0,1000]

si ha :

$E_x = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{1000} \left(1-\frac{f}{1000}\right)^2 df = \frac{500}{3}$

Calcolando l'integrale con wolfram sembrerebbe corretto. Quindi, essendo $E_x < \infty$ , il segnale x(t)

è di energia e di conseguenza la potenza media del segnale sarà nulla.

2) Qui inizio ad avere qualche problema..Teoricamente, senza fare nessun calcolo posso dire che questo segnale è la periodicizzazione di un segnale aperiodico (quindi in sostanza y(t)

è da considerarsi un segnale periodico). Essendo un segnale periodico allora il valore medio è nullo, l'energia è infinita e pertanto è un segnale di potenza. Per il calcolo della potenza media avevo pensato di calcolare la trasformata del segnale sfruttando una formula che ho trovato su una dispensa online che utilizza una combo tra la prima formula di somma di Poisson e (probabilmente) il teorema di traslazione della trasformata :

$y(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(t-k\cdot T_0) \Leftrightarrow Y(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T_0} X \left(\frac{n}{T_0}\right) \cdot e^{j2 \pi \frac{n}{T_0} T} \cdot \delta \left(f - \frac{n}{T_0} \right)$

Qualcuno può confermare la validità di questa formula? E magari spiegarmela..

Se la precedente è giusta abbiamo che :

$Y(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \cdot \frac{1}{2} \cdot tr \left(\frac{n}{1000T} \right) \cdot e^{j2 \pi \frac{n}{T} T} \cdot \delta \left(f-\frac{n}{T}\right)$

$= \frac{1}{2T} \cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty} tr \left(\frac{n}{1000T} \right) \cdot e^{j2 \pi n} \cdot \delta \left(f-\frac{n}{T}\right)$

E adesso? Incompleto

3) Per calcolare il valore di y(0)

ho valutato il valore della serie :

$y(0) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(-kT) = 500 \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} sinc^2(-1000kT)$

Essendo $T=\frac{1}{400}$ abbiamo :

$y(0) = 500 \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} sinc^2(-2.5\cdot k) = 500 \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left( \frac{sen(-2.5 \cdot k)}{-2.5 \cdot k} \right)^2$

Adesso (sono un po' arruginito sulle serie di funzioni) il numeratore è una funzione limitata quindi la serie può essere minorata da :

$\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left( \frac{sen(-2.5 \cdot k)}{-2.5 \cdot k} \right)^2 < \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$

che è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2$ , che converge a $\approx 1$ , quindi in conclusione :

$y(0) \approx 500$

calcolando con wolfram però ottengo circa 628

, ovviamente il metodo di calcolo del programma ottiene una stima più fine, considerando che non sono un calcolatore il mio risultato è accettabile?

4) La risposta in frequenza è ricavabile come trasformata di Fourier della risposta impulsiva h(t)

quindi :

$H(f) = 200 \cdot F \left[ sinc(200t) \cdot cos(800 \pi t) \right] = \frac{1}{2} \cdot \left[ rect \left(\frac{f-400}{200}\right) + rect \left(\frac{f+400}{200}\right) \right]$

Per quanto riguarda invece l'espressione di z(t)

avevo pensato di ricavarla anti-trasformando secondo Fourier l'espressione :

$Z(f) = Y(f) \cdot H(f)$

però essendoci di mezzo una serie di funzioni non ho idea di come procedere..Senza svolgere questo non posso continuare. Se possibile gradirei una risposta in cui mi si dice punto per punto 1) 2) ecc.. se quello che ho fatto è giusto o sbagliato (e se no dove ho sbagliato) grazie ancora per la pazienza, sto cercando di dare meno disturbo possibile ma ho bisogno di un vostro riscontro in quello che cerco di fare autonomamente.

da **dimaios** » 21 apr 2016, 23:08

Iniziamo con qualche osservazione.

oiram92 ha scritto:
$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} X^2(f) df = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} \left(tr \left( \frac{f}{1000} \right)\right)^2 df$

Questo dovrebbe essere un impulso triangolare centrato nell'origine (simmetrico rispetto all'asse verticale) e avente semi-ampiezza di base pari a .

Dovrebbe cosa :-|

Sicuro che sia un triangolo :?:

oiram92 ha scritto:
Essendo un segnale periodico allora il valore medio è nullo, l'energia è infinita e pertanto è un segnale di potenza.

Secondo te tutti i segnali periodici sono a media nulla :?:

Hai i risultati dell'esercizio ? Se si pubblicali.

da **oiram92** » 21 apr 2016, 23:35

1) Non è proprio un triangolo, quasi ;-)

nel senso che essendo elevato al quadrato ha i lati "arrotondati" in modo parabolico. Quindi lo definirei impropriamente un triangolo (anche se la forma è molto simile) , che però mantiene stessa definizione del triangolo ma elevata al quadrato. Mi spiego meglio :

Il triangolo è definito come :

$tr \left(\frac{t}{T}\right) = 1-\frac{|t|}{T}\;\;\;\;\;\;per\;\;|t|<1$

Questo invece è semplicemente la precedente al quadrato no? cioè :

$tr \left(\frac{t}{T}\right)^2 = (1-\frac{|t|}{T})^2\;\;\;\;\;\;per\;\;|t|<1$

2) Ho appena ricontrollato libro e appunti ed (ovviamente) hai ragione tu, per i segnali periodici sappiamo con certezza soltanto che l'energia è (idealmente) infinita.

3) Purtroppo non ho i risultati, è una traccia di un esame pubblicata sul sito del mio prof, ma non ci sono risultati e/o svolgimento

da **dimaios** » 22 apr 2016, 8:47

oiram92 ha scritto: Quindi lo definirei impropriamente un triangolo (anche se la forma è molto simile) , che però mantiene stessa definizione del triangolo ma elevata al quadrato.

E' una parabola limitata ad un dominio opportuno. Punto.

oiram92 ha scritto:2) Ho appena ricontrollato libro e appunti ed (ovviamente) hai ragione tu, per i segnali periodici sappiamo con certezza soltanto che l'energia è (idealmente) infinita.

Non serviva controllare sugli appunti. Prendi una sinusoide e ci sommi una costante .... cosa succede :?:

Il segnale è sempre periodico ma .... ;-)

da **oiram92** » 3 mag 2016, 21:28

scusa se rispondo dopo un bel po' di giorni, momentaneamente ero passato alla risoluzione degli esercizi con le variabili aleatorie (sto aprendo una discussibone su un esercizio che non riesco a capire bene, se puoi dargli un occhiata anche a quello mentre questo resta un po in standby te ne sarei grato).

Comunque, sommando una costante ad un segnale periodico si ha una traslazione del segnale. Se la costante che addizioniamo è positiva, il segnale viene portato "in alto" e quindi calcolando l'integrale nel periodo non abbiamo più un'area complessiva nulla perché (in tal caso) l'area sottesa al di sopra dell'asse x è maggiore di quella al di sotto. Spero di essermi spiegato bene

da **oiram92** » 24 mag 2016, 22:21

Credo di aver completato bene l'analisi degli esercizi con le variabili aleatorie quindi ritorno a partecipare attivamente a questa discussione spero che

dimaios o chiunque altro voglia darmi una mano.

Prima di passare ad esercizi ancora troppo complessi per me (come quello dei post precedenti) vorrei iniziare con questo.

Testo
Siano assegnati due segnali :

$x(t) = 100\;sinc(100t)-1$

$y(t) = x(t) \cdot cos(400\pi\;t)$

Si supponga che il segnale y(t)

vada in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui risposta all’impulso è data da :

$h(t) = 450\;sinc(450t)$

e sia z(t)

il segnale in uscita.

Calcolare :
1) media, energia e potenza del segnale x(t)

2) l’espressione del segnale z(t)

nel dominio del tempo
3) media e potenza del segnale z(t)

Svolgimento

1) I parametri caratteristici del segnale x(t)

sono :

$x_m = X(0) = \left[rect \left(\frac{f}{100}\right) - \delta(f)\right]_{f=0} = rect(0)-\delta(0) = 1$

$E_X = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(rect \left(\frac{f}{100}\right)-\delta(f)\right)^2 df$

$= \int_{-100}^{100} \left(1-\frac{f}{100}\right)^2 df - 2 \cdot \int_{-100}^{100} \left(1-\frac{f}{100}\right)\cdot \delta(f) df$

$= \int_{-100}^{100} df - \frac{1}{50} \int_{-100}^{100} f\; df + \frac{1}{100^2} \int_{-100}^{100} f^2 \;df - 2 \cdot \int_{-100}^{100} \delta(f) \;df = \frac{794}{3}$

Essendo $E_X < \infty$ allora la potenza media è nulla P_X=0

.

2) Innanzitutto calcoliamo la trasformata di Fourier di y(t)

:

$Y(f) = \mathbb{F}(x(t) \cdot cos(400\pi\;t)) = \frac{X(f-200)+X(f+200)}{2}$

La risposta in frequenza del sistema è :

$H(f) = rect\left(\frac{f}{450}\right)$

Quindi il segnale in uscita nel dominio della frequenza è :

$Z(f) = \frac{X(f-200)+X(f+200)}{2} \cdot rect\left(\frac{f}{450}\right)$

Adesso per ottenere il segnale z(t)

nel dominio del tempo vado ad antitrasformare secondo Fourier (utilizzando il teorema della modulazione in frequenza e della convoluzione):

$z(t) = \frac{1}{2} \left\{\mathbb{F}^{-1}\left[ X(f-200)+X(f+200) \right] \otimes \mathbb{F}^{-1} \left[ rect \left(\frac{f}{450}\right)\right]\right\}$

$= \frac{1}{2} \left\{ 2\cdot x(t) \;cos(400\pi\;t) \otimes 450\; sinc(450t) \right\}$

Lo so è stata una perdita di tempo svolgerlo così perché con la definizione :

$z(t) = y(t) \otimes h(t)$

arrivavo allo stesso identico risultato, però essendo ancora in fase di studio voglio analizzare tutte le possibili strade per arrivare al risultato (in modo da saper anche verificare se un risultato è corretto o meno). Dunque arriviamo al punto in cui abbiamo :

$z(t) = \left[ (100\;sinc(100t)-1)\cdot cos(400\pi\;t)\right] \otimes [450\; sinc(450t)]$

Domanda: Posso lasciarlo così o devo continuare a sviluppare la convoluzione? Se si come dovrei procedere?

3) Infine, il valor medio è:

$z_m = Z(0) = \frac{rect(-2) - \delta(-200) + rect(2) - \delta(200)}{2} \cdot rect(0) = 0$

Domanda: A questo punto sarei tentato a dire che essendo il valore medio nullo allora il segnale è periodico, tuttavia come mi faceva notare qualche post fa

dimaios non tutti i segnali periodici hanno valore medio nullo quindi non posso dire nulla a priori sulla peridiocità del segnale?

Per quanto riguarda invece la potenza media dovrebbe essere :

$P_Z = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} Z(f)^2 df$

questo avevo pensato di svolgerlo restringendo l'intervallo di integrazione tra $-225,\; 225$ in modo tale da avere :

$P_Z = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-225}^{+225} [X(f-200)+X(f+200)]^2 df$

sviluppando solo la parte con l'integrale si ha :

$= \int_{-225}^{+225} [rect \left(\frac{f-200}{100}\right)]^2 df + \int_{-225}^{+225} [\delta(f-200)]^2 df - \int_{-225}^{+225} 2 rect \left(\frac{f-200}{100}\right) \delta(f-200) df$
$+ \int_{-225}^{+225} [rect \left(\frac{f+200}{100}\right)]^2 df + \int_{-225}^{+225} [\delta(f+200)]^2 df - \int_{-225}^{+225} 2 rect \left(\frac{f+200}{100} \right) \delta(f+200) df$
$+ 2 \int_{-225}^{+225} \left(rect \left(\frac{f-200}{100}\right) - \delta(f-200) \right) \cdot \left(rect \left(\frac{f+200}{100}\right) - \delta(f+200) \right) df$

andando a graficare le due rect si vede che :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

quindi, andiamo a restringere ancora l'intervallo di integrazione delle rect ottenendo :

$= \int_{100}^{+225} df - 2 + \int_{-225}^{-100} df - 2 = 248$

quindi :

$P_Z = \lim_{T \to +\infty} \frac{248}{T} = 0$

corretto?

da **oiram92** » 25 mag 2016, 0:41

Mi sono reso conto che l'ultimo integrale è venuto tagliato ed ho sbagliato il risultato (anche se poi alla fine la potenza viene pur sempre nulla). Per completezza riscrivo in modo visibile l'integrale :

$\int_{-225}^{225} \left[X(f-200) + X(f+200)\right]^2 df$

$\int_{-225}^{225} X^2(f-200) + 2 \; X(f-200)\cdot X(f+200) + X^2(f+200) df$

Risolviamo gli integrali uno ad uno :

1) $\int_{-225}^{225} X^2(f-200) df$

$\int_{-225}^{225} \left[rect \left(\frac{f-200}{100}\right)\right]^2\;df - 2 \int_{-225}^{225} rect \left(\frac{f-200}{100}\right) \cdot \delta(f-200)\;df + \int_{-225}^{225} \delta^2(f-200) df$

$\int_{100}^{225} df - 2 \int_{100}^{225} \delta(f-200) df + \emptyset = 125 - 2 = 123$

2) $\int_{-225}^{225} X^2(f+200) df$

$\int_{-225}^{225} \left[rect \left(\frac{f+200}{100}\right)\right]^2\;df - 2 \int_{-225}^{225} rect \left(\frac{f+200}{100}\right) \cdot \delta(f+200)\;df + \int_{-225}^{225} \delta^2(f+200) df$

$\int_{-225}^{-100} df - 2 \int_{-225}^{-100} \delta(f+200) df + \emptyset = 125 - 2 = 123$

3) $\int_{-225}^{225} 2 \; X(f-200)\cdot X(f+200) df$

$2\;\int_{-225}^{225} \left[rect \left(\frac{f-200}{100}\right) - \delta(f-200)\right] \cdot \left[rect \left(\frac{f+200}{100}\right) - \delta(f+200)\right] df$

Con calma facciamo anche questo , considerando i contributi singolarmente :

3.1) $\int_{-225}^{225} rect \left(\frac{f-200}{100}\right)rect \left(\frac{f+200}{100}\right) df$

$\int_{-225}^{0} rect \left(\frac{f-200}{100}\right)rect \left(\frac{f+200}{100}\right) df + \int_{0}^{225} rect \left(\frac{f-200}{100}\right)rect \left(\frac{f+200}{100}\right) df = \emptyset$

3.2) $- \int_{-225}^{225} rect \left(\frac{f-200}{100}\right) \delta(f+200) df$

$- \int_{100}^{225} \delta(f+200) df = \emptyset$

3.3) $- \int_{-225}^{225} rect \left(\frac{f+200}{100}\right)\delta(f-200) df$

$- \int_{-225}^{-100} \delta(f-200) df = \emptyset$

3.4) $\int_{-225}^{225} \delta(f-200) \delta(f+200) df$

$\int_{-225}^{0} \delta(f-200) \delta(f+200) df + \int_{0}^{225} \delta(f-200) \delta(f+200) df = \emptyset$

Quindi alla fine otteniamo :

$P_Z = \lim_{T \to +\infty} \frac{123+123}{2T} = \emptyset$

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Parametri di un segnale determinato

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