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da **oiram92** » 14 giu 2016, 20:08

Buonasera, se ho un segnale aleatorio X(t)

stazionario in senso lato di cui conosco l'autocorrelazione $R_X(\tau)$ e voglio calcolare l'autocorrelazione di un segnale $Y(t) = D \cdot X(t)$ dove

è una variabile aleatoria uniforme in [-2,1]

è possibile fare così ?

$R_Y(\tau) = E \{Y(t) Y(t+\tau)\} = E\{D^2 \cdot X(t) X(t+\tau)\}$

(*) $= E\{D^2\} \cdot E\{X(t)X(t+\tau)\}$

$= E\{D^2\} \cdot R_X(\tau)$

non mi convince tanto il fatto di poter splittare l'operatore valor medio nel prodotto delle singole medie tra una variabile aleatoria ed un segnale aleatorio. Si può fare?

da **simo85** » 14 giu 2016, 22:18

oiram92 ha scritto:Si può fare?

Si, perché la speranza E[D]

è un operatore lineare.

da **oiram92** » 14 giu 2016, 22:32

Grazie mille per la risposta, ma questo vale a prescindere dal tipo di prodotto che ho? Mi spiego meglio con un esempio. Se avessi avuto $Y(t) = X(t) \cdot cos(3000\pi\;t + \phi)$ con $\phi$ variabile aleatoria uniforme in $[0,2\pi]$ (è un altro esercizio in sostanza).

In tal caso anche qui sarebbe possibile scrivere :

$R_Y(\tau) = R_X(\tau) \cdot E\{cos(3000\pi\;t + \phi)\cdot cos(3000\pi(t+\tau) + \phi)\}$

:?:

cioè, non c'entra nulla il fatto che a moltiplicare il segnale aleatorio sia una variabile aleatoria uniforme o un altro segnale giusto?

da **simo85** » 14 giu 2016, 22:51

oiram92 ha scritto:cioè, non c'entra nulla il fatto che a moltiplicare il segnale aleatorio sia una variabile aleatoria uniforme o un altro segnale giusto?

Ricorda che esiste anche la funzione di valore medio di un processo stocastico:
Comunque nel tuo caso sì mi sembra giusto:

$\begin{aligned} & E[X(t_1)\cos(\omega t_1 + \phi)X(t_2)\cos(\omega t_2 + \phi)] \\ & = E[X(t_1)X(t_2)]E[\cos(\omega t_1 + \phi)\cos(\omega t_2 + \phi)]\\ & = R_X(t_1,t_2)E[\cos(\omega t_1 + \phi)\cos(\omega t_2 + \phi)] \end{aligned}$

O_/

da **dimaios** » 14 giu 2016, 23:22

Sicuro che il testo del problema sia completo ?

simo85 ha scritto:Si, perché la speranza E[D] è un operatore lineare.

https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso

Attenzione alle definizioni.

Comunque il problema è che bisogna giustificare la liceità del passaggio che vale quando le variabili sono scorrelate :

$E\left[D^2 \cdot X(t) X(t+\tau)\right]= E\left[D^2\right] \cdot E\left[X(t)X(t+\tau)\right]$

da **simo85** » 14 giu 2016, 23:27

dimaios ha scritto:Attenzione alle definizioni.

Studio in 4 lingue diverse, e l'ultima di queste è l'italiano. :oops:

Io l'ho sempre chiamata speranza.

Se ti riferivi a me.

da **dimaios** » 14 giu 2016, 23:29

Mi riferivo alla linearità.

da **simo85** » 14 giu 2016, 23:30

OK !

da **dimaios** » 14 giu 2016, 23:31

L'aspettazione del prodotto può diventare il prodotto delle aspettazioni ma non per la linearità.

da **oiram92** » 14 giu 2016, 23:55

dimaios ha scritto:Sicuro che il testo del problema sia completo ?

Il testo completo del primo esercizio è :

Sia X(t)

un segnale aleatorio stazionario in senso lato la cui funzione di autocorrelazione è :

$R_X(\tau) = 2000sinc(2000\tau)$

e sia $Y(t) = D \cdot X(t)$ dove

è una variabile aleatoria distribuita uniformemente in [-2, 1]

.

(a) Calcolare il valore medio del segnale Y(t)

, (b) disegnare la densità spettrale di potenza del segnale Y(t)

e calcolarne la potenza, e (c) calcolare la frequenza di campionamento per il segnale Y(t)

.

Mentre il testo del secondo esercizio è :

Sia X(t)

un segnale aleatorio stazionario in senso lato la cui funzione di autocorrelazione è :

$R_X(\tau) = 4500sinc^2(1500\tau)-500sinc^2(500\tau)+2000sinc(1000\tau)$

e sia $Y(t) = X(t) \cdot cos(3000\pi t + \phi)$ dove $\phi$ è una variabile aleatoria distribuita uniformemente in $[0, 2\pi]$ .

(a) Calcolare il valore medio del segnale Y(t)

, (b) disegnare la densità spettrale di potenza del segnale Y(t)

e calcolarne la potenza, e (c) calcolare la frequenza di campionamento per il segnale Y(t)

.

Domanda: Quindi il fatto di splittare così non è sempre fattibile?

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Autocorrelazione di un segnale

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