Autocorrelazione di un segnale

[clavicordo]

L'aspettazione del prodotto può diventare il prodotto delle aspettazioni ma non per la linearità.

Non per la linearità ma per l'indipendenza statistica dei due processi. Sbaglio?

[dimaios]

Si clavicordo è così.

Nel caso in oggetto X(t) non è definito in modo esplicito.

Facciamo un esempio concreto.

Se e con due variabili aleatorie
Come si può osservare, è un processo aleatorio mentre è una variabile aleatoria.


Bisogna stare attenti a quali sono le condizioni per poter dire che :

[clavicordo]

Bisogna stare attenti a quali sono le condizioni per poter dire che :

E[ Y(t) ] = E[\mu\cdot \sin( \eta t )] = ? = E[\mu] \cdot E[ \sin( \eta t )]

Nel caso dell'esempio che fai, quali sarebbero dimaios quelle condizioni?

[oiram92]

Rimango in ascolto anche io perché sono interessato alla questione (sennò non avrei aperto il topic ). Il problema è che tutti gli esercizi d'esame proposti dal mio prof (relativi a questo argomento) sono così. Non specifica nulla sull'indipendenza statistica delle variabili (in tal caso c'è un teorema che mi assicura la possibilità senza rischi di effettuare quel passaggio) però quando non viene specificato non so come comportarmi. Sottointendere l'indipendenza delle variabili mi sembra un po' una forzatura però non vedo altre strade..

Anche perché volendo usare la definizione generale di autocorrelazione dovrei calcolare l'integrale doppio della densità di probabilità del segnale (ma questa non ci viene fornita quindi..)

[dimaios]

L'indipendenza delle due variabili aleatorie.

[clavicordo]

Ricordo che un prof del Politecnico parlava di "costanti di ignoranza", per quelle costanti che si aggiungevano nelle formule per poterle "aggiustare" alla realtà. L'ignoranza quindi veniva (viene) associata alla costanza ossia all'invariabilità, ossia alla cosa più semplice.
Anche nel caso statistico, quindi, si può supporre "per ignoranza" che la natura delle variabili aleatorie sia la loro indipendenza. Poi... eventualmente si vedrà.

[dimaios]

Una cosa è aggiungere una variabile aleatoria ad un modello deterministico, altra è considerare una variabile aleatoria in combinazione ad un processo stocastico.
Come mostra il semplice esempio che ho illustrato se le variabili aleatorie sono correlate l'integrale non si può formalmente 'spezzare' perché non puoi fattorizzare la densità di probabilità congiunta nel prodotto di due densità di probabilità.

Per risolvere l'esercizio devi includere l'ipotesi in oggetto altrimenti non ne vieni fuori, evidentemente la considera sottintesa.

[oiram92]

Perfetto adesso è chiaro grazie mille se dovesse uscire un esercizio del genere all'esame butto giù due righe in cui spiego il perché sia necessario che le variabili siano indipendenti e procedo con un "supponendo che sia verificato allora..." e così "me ne lavo le mani". Nel caso in cui dovessero esserci problemi poi all'orale ne discutiamo assieme con il prof

[oiram92]

Scusatemi, mi è sorto un altro dubbio..

Se un segnale aleatorio (generico) è definito tramite la sua densità spettrale di potenza posso affermare con certezza che si tratta di un segnale stazionario?

Mi spiego meglio: se un processo aleatorio è stazionario (almeno in senso lato) sono sicuro che le funzioni campione del processo siano segnali di potenza (cioè energia infinita e potenza finita) e di conseguenza il segnale ammette densità spettrale di potenza. Ma vale anche il viceversa? Cioè, se il segnale ammette densità spettrale di potenza allora automaticamente si tratta di un segnale aleatorio stazionario (in senso lato)?

[dimaios]

Se un segnale aleatorio (generico) X(t) è definito tramite la sua densità spettrale di potenza posso affermare con certezza che si tratta di un segnale stazionario?

No. Il teorema di Wiener Khinchin Einstein si applica anche a segnali non stazionari.
Guarda per esempio qui.
All'università in genere questo tipo di processi non si studiano nei classici esami di teoria dei segnali ma ci si concentra sui processi stazionari in senso stretto e lato.