E=hf

[Ianero]

ESERCIZIO 2: Applica l'operatore alla solita onda piana. Cosa ottieni?

La quantità di moto p.
Mi sembra di capire che i concetti "numerici" di energia e quantità di moto posso vederli come autovalori di alcuni operatori specifici.

Probabilmente tutto ciò che scriverò da qui in poi non sarà corretto
Siccome gli autovalori di un operatore non dipendono dalla funzione sulla quale è applicato ho provato a calcolarmi tutti gli autovalori possibili dell'Hamiltoniano.





Trasformando secondo Fourier:



ovvero:

devo dedurre che quindi l'operatore ammette autovalori solo per funzioni periodiche nello spazio di frequenza ben definita .
Poiché io non conosco più la relazione di De Broglie mi fermo qui senza sostituire .

Dunque l'equazione per le auto funzioni diventa:



e mi chiedo se la soluzione di onda piana sia la sola a soddisfare questa equazione (ovvero ad ammettere quegli autovalori).

[Ianero]

Quando la funzione d'onda associata alla particella è una autofunzione dell'operatore hamiltoniano con autovalore , l'energia della particella ha un valore ben definito pari a .

Questo è un principio assunto per vero?

[DirtyDeeds]

Mi sembra di capire che i concetti "numerici" di energia e quantità di moto posso vederli come autovalori di alcuni operatori specifici.

Bravo, una bella deduzione che costituisce uno, anzi due, dei postulati della moderna MQ, i postulati 2-3 riportati qui di seguito (un po' semplificati):

1. Lo stato di un sistema quantistico è definito da una funzione appartenente ad un opportuno spazio di Hilbert (per una particella singola possiamo prendere lo spazio delle funzioni a quadrato integrabile su ).
2. Ad ogni grandezza fisica è associato un operatore hermitiano sullo spazio detto osservabile.
3. La misura di una grandezza può solo dare come risultato uno degli autovalori di .

Ecco perché non devi confondere i valori misurabili con gli operatori. Nota che, incidentalmente, nel caso appena visto, l'operatore hamiltoniano e quello momento hanno gli stessi autovettori. Questa è una conseguenza di una proprietà meno evidente, che scoprirai risolvendo il prossimo esercizio:

ESERCIZIO 3: Calcola il commutatore degli operatori e , cioè l'operatore definito da (il prodotto indica la composizione degli operatori, prima applichi quello più a destra e poi al risultato applichi quello più a sinistra). Calcola anche il commutatore .

Venendo alle tue domande:

Curiosità: perché si chiama relazione "di dispersione"?

E' un termine preso in prestito dall'ottica, perché è una relazione tra la frequenza dell'onda e la sua velocità di propagazione: se tale relazione non è lineare, si ha il fenomeno della dispersione ottica (pensa al prisma di Newton).

Siccome gli autovalori di un operatore non dipendono dalla funzione sulla quale è applicato ho provato a calcolarmi tutti gli autovalori possibili dell'Hamiltoniano.

In realtà, come ho scritto sopra, l'hamiltoniano è un operatore che agisce su funzioni su , non : le sue autofunzioni non dipendono dal tempo. Nei casi sopra, la parte temporale viene vista dall'operatore come un coefficiente costante. Ci torneremo sopra tra un pochino.

[DirtyDeeds]

Ho fatto una modifica all'esercizio sopra.

[Ianero]

La misura di una grandezza può solo dare come risultato uno degli autovalori di .

E' bellissima questa cosa.

ESERCIZIO 3: Calcola il commutatore degli operatori e , cioè l'operatore definito da (il prodotto indica la composizione degli operatori, prima applichi quello più a destra e poi al risultato applichi quello più a sinistra).

siccome gli operatori hamiltoniano (ma a 'sto punto posso chiamarlo operatore energia?) e quantità di moto rappresentano una derivata (a meno di costanti a prodotto), essi sono commutativi ottenendo sempre un fattore numerico e una derivata terza.
Per cui direi che su qualsiasi funzione viene applicato dà sempre zero.

Calcola anche il commutatore .

Chi è l'operatore ?

[DirtyDeeds]

(ma a 'sto punto posso chiamarlo operatore energia?)

No, non puoi Purtroppo oggigiorno vi fanno studiare la meccanica quantistica senza prima aver studiato la meccanica lagrangiana ed hamiltoniana -- che è un po' come studiare elettronica senza sapere neanche le leggi di Kirchhoff -- però l'idea sarebbe che la meccanica quantistica può essere solo formalizzata nella meccanica hamiltoniana, e la funzione hamiltoniana in quel formalismo ha un significato specifico che non è solo quello di energia. Quindi, no, continua a chiamare quell'operatore, hamiltoniano (che poi si indica con mica per niente ).

Chi è l'operatore ?

E' l'operatore di moltiplicazione per , cioè mappa in .

[Ianero]

Quindi ad un dato istante di tempo fissato, se ad esempio è questa:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e se applicando l'operatore hamiltoniano (o anche quantità di moto) ottengo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

(ovvero una scalatura, anche se dal disegno si capisce poco), posso affermare che l'energia del sistema (ovvero la quantità di moto) è esattamente il fattore di scala.
Ma se invece ottengo una funzione diversa da una semplice scalatura? L'energia non la conosco più?

[Ianero]

Calcola anche il commutatore .

L'utilità di introdurre i commutatori qual è?

[DirtyDeeds]

Una grandezza fisica qualunque ha un valore definito solo se la funzione d'onda del sistema è un'autofunzione dell'osservabile associato. Cosa significa valore definito? Significa che se fai una misura di quella grandezza sapendo che il sistema è in quello stato, ottieni esattamente l'autovalore associato a quell'autofunzione.

Se invece la funzione d'onda non è un'autofunzione dell'osservabile associato alla grandezza, otterrai uno degli autovalori, con una probabilità che può essere calcolata a partire dalla funzione d'onda e dalle autofunzioni dell'osservabile di interesse. Il modo in cui viene fatto il calcolo richiede un po' più di formalismo, ma lo vedrai più in là. Magari ci torneremo.

[DirtyDeeds]

Calcola anche il commutatore .

No, ricontrolla