E=hf

[Ianero]

Significa fare questo?

[DirtyDeeds]

Sì

[Ianero]

Ah sì ecco scusami

[DirtyDeeds]

Giusto. Volendo esprimere solo il commutatore si ha



Prima di capire perché i commutatori sono importanti, devi rispondere a un'altra domanda:

ESERCIZIO 5: Le autofunzioni di e di , sono anche autofunzioni di ?

[Ianero]

Il meno perché si leva?

ESERCIZIO 5: Le autofunzioni di e di , sono anche autofunzioni di ?

Dunque, io non so tutti gli autovalori di quegli operatori, ne conosco uno solo per (ovvero E) di cui una autofunzione risulta essere l'onda piana. Stessa cosa per .
L'operatore applicato alla stessa onda piana, non restituisce l'onda piana scalata, per cui la risposta è no.

[DirtyDeeds]

Il meno perché si leva?

Non l'ho levato, ho solo invertito l'ordine degli operandi nel commutatore: .

Dunque, io non so tutti gli autovalori di quegli operatori, ne conosco uno solo per (ovvero E) di cui una autofunzione risulta essere l'onda piana.

Questa non l'ho capita. può essere un valore qualunque, quindi ha come spettro degli autovalori tutto (*): tutti i valori sono autovalori.

per cui la risposta è no.

Già.

Quindi possiamo formulare una connessione tra commutatori e autofunzioni: se due operatori commutano, un'autofunzione di uno, è anche autofunzione dell'altro; se due operatori non commutano non hanno autofunzioni comuni. Questa connessione, che noi non abbiamo veramente dimostrato, si può dimostrare facilmente per via algebrica (spero lo facciate nel prosieguo del corso).

Questa connessione, però, ha una conseguenza fisica fondamentale: il principio di indeterminazione di Heisenberg! Torniamo al postulato che dice che quando fai una misura di una grandezza ottieni un autovalore dell'osservabile associato: cosa succede alla funzione d'onda del sistema dopo la misura? Succede che se facendo la misura di una grandezza si ottiene un autovalore dell'osservabile , la funzione d'onda del sistema immediatamente dopo la misura corrisponderà all'autofunzione di associata all'autovalore . Questo è, in realtà, un altro postulato della MQ, ben verificato nella realtà perché è il metodo che si usa per preparare i sistemi quantistici in uno stato prefissato.

Ora immagina di misurare simultaneamente o quasi due grandezze le cui osservabili associate commutino, p.es. e . Immagina di misurare prima , ottenendo un certo valore . Subito dopo la misura, la funzione d'onda del sistema coincide con l'autofunzione di corrispondente all'autovalore . Questa autofunzione, però, è anche autofunzione di con autovalore : se misuro , ottengo proprio quel valore, e la funzione d'onda del sistema non cambia. E se rimisuro , sempre in rapida successione, riottengo di nuovo lo stesso valore di prima. Morale: energia e quantità di moto possono essere misurate simultaneamente perché le ossefvabili associate e commutano, e hanno le autofunzioni in comune.

Immagina invece di misurare quasi simultaneamente due grandezze i cui osservabili associati non commutino, come e . Se misuri prima , ottieni un certo valore . Subito dopo la misura, la funzione d'onda del sistema coincide con l'autofunzione di corrispondente all'autovalore . Questa autofunzione, però, non è anche autofunzione di : se misuri , otterrai un valore casuale e la funzione d'onda del sistema dopo la misura coinciderà con un'autofunzione di . E se rimisuri , sempre in rapida successione, non riotterrai il valore ottenuto prima, ma un altro casuale. Morale: posizione e quantità di moto non possono essere misurate simultaneamente perché le ossefvabili associate e non commutano, e non hanno autofunzioni in comune.

Dal commutatore si può poi anche ritrovare la relazione di incertezza di Heisenberg, che assumerà un significato più preciso di quello che puoi avere visto nell'introduzione.

Risultato, ciò che distingue la meccanica classica da quella quantistica è il fatto che certi operatori non commutano. Se fosse , tutti gli operatori commuterebbero e si ritroverebbe la meccanica classica.

Per adesso ti invito a riflettere su quanto visto sopra, e chiudo con un ultimo esercizio, che è importante per capire l'importanza delle autofunzioni di :

ESERCIZIO 6: Considera la solita particella libera, e immagina che al tempo il suo stato sia , autofunzione dell'hamiltoniano. Come puoi scrivere la funzione d'onda in funzione di ?

(*) Nota matematica: sto prendendo bellamente a calci un bel po' di matematica, fregandomene del dominio degli operatori, della loro hermiticità, e del fatto che quando lo spettro di un operatore è continuo non ci sono in realtà autovalori e autofunzioni. Ma a questo livello direi che ci possiamo accontentare Se un giorno di venisse voglia di approfondire, il libro giusto è questo:

V. Moretti, Teoria spettrale e meccanica quantistica. Operatori in spazi di Hilbert

[Ianero]

ESERCIZIO 6: Considera la solita particella libera, e immagina che al tempo il suo stato sia , autofunzione dell'hamiltoniano. Come puoi scrivere la funzione d'onda in funzione di ?

Immagina invece di misurare quasi simultaneamente due grandezze i cui osservabili associati non commutino...

Aspetta che questa è strana (nel senso che non la capisco bene).
Al di là della formalità matematica della cosa che non fa una piega e va bene, ma questo nella realtà che significa?
Cioè lo stato del sistema cambia se io inizio a conoscerne un suo valore? Ovvero "saltano" tutti quelli a esso non "compatibili"?
L'esistenza di questi valori non compatibili cosa rappresenta nella realtà?
Intendo dire, ho una particella libera, ne misuro la posizione e lei dopo che fa? Se ne scappa? Perché non posso conoscere anche la quantità di moto?



Poi...
Non chiamarmi idiota ma.. tutta la questione di De Broglie? Che fine ha fatto?
Cioè io misuro (se si tratta di una particella libera l'unica cosa che può rappresentare questa è una cinetica), quindi la diventa autofunzione di , ovvero posso scrivere l'onda piana famosa che inizialmente era scritta genericamente così:



Ora non voglio ridire la stessa vaccata, ma così mi sembra però

[Ianero]

Altra cosa, dall'onda piana vedo che posso ottenere l'energia anche se definisco un operatore come:



Perché scegliere una definizione piuttosto che un'altra?
Anzi, stavolta ottengo proprio e non che dovrebbe essere ancora meglio perché più generale, no?

[DirtyDeeds]

Prima parte della risposta alle tue domande.

Corretto, ma meglio scriverla così, con il coefficiente numerico davanti (tipicamente, i vettori si moltiplicano scalarmente a sinistra, e le soluzioni di un'equazione differenziale lineare formano uno spazio vettoriale):



Su questa ci torneremo su tra breve, perché è molto importante.

Cioè lo stato del sistema cambia se io inizio a conoscerne un suo valore? Ovvero "saltano" tutti quelli a esso non "compatibili"?

Sì, quando fai una misura su un sistema ne alteri lo stato, a meno che la funzione d'onda non sia proprio un'autofunzione dell'osservabile misurato. Questo postulato viene talvolta chiamato postulato del "collasso della funzione d'onda", perché, in un certo senso, la funzione d'onda dopo una misura "collassa" sull'autofunzione corrispondente al valore misurato. Questo postulato, che è causa di molti grattacapi fondazionali, riflette il fatto che nella meccanica quantistica il processo di misura è considerato un processo di tipo classico, macroscopico.

Intendo dire, ho una particella libera, ne misuro la posizione e lei dopo che fa?

Quello che le pare

Quando misuri la posizione della particella, la funzione d'onda della particella dopo la misura corrisponderà all'autofunzione corrispondente al valore di posizione misurato, che è un autovalore dell'operatore posizione. Più realisticamente, corrisponderà a una sovrapposizione di autofunzioni dovuta al fatto che è impossibile misurare esattamente la posizione di un oggetto.

Ma il punto è che l'autofunzione corrispondente al valore misurato non è un'autofunzione dell'operatore quantità di moto, e quindi una successiva misura della quantità di moto dà un risultato impredicibile. Immagina di avere infinite particelle, e di misurare la posizione di ciascuna di esse. Supponi, un po' fantasiosamente, che per tutte le particelle la misura di posizione dia lo stesso risultato, in modo tale che subito dopo la misura tu sappia che la funzione d'onda di tutte le particelle è la stessa. Se a questo punto tu misurassi la quantità di moto di tutte le particelle, otterresti infiniti risultati diversi, con, tra l'altro, una dispersione dei valori infinita. In altre parole, non è possibile misurare simultaneamente posizione e quantità di moto con incertezze arbitrarie.

[Ianero]

Credo di essere arrivato finalmente a capire perché è sbagliata, proprio usando l'operatore Energia come l'ho definito io prima.
La particella è descritta dalla funzione d'onda , che è confinata magari entro una regione nella quale la particella ha una probabilità diversa da zero di trovarsi.
Se la particella è in moto, allora nel tempo la funzione d'onda si sposterà anch'essa (direi quindi anche allargandosi, data l'incertezza sulla quantità di moto).
Ora, in riferimento alla funzione d'onda, essa non può avere una frequenza definita proprio perché è confinata in una certa regione finita, per cui neanche l'energia è ben definita ().
Sarebbe così quindi solo se la funzione d'onda fosse perfettamente periodica, infatti in quel caso:



ho ottenuto De Broglie solo come caso particolare di funzione perfettamente periodica.
E' giusto?

riflette il fatto che nella meccanica quantistica il processo di misura è considerato un processo di tipo classico, macroscopico.

Quando invece "misurare" significa qualche altra cosa diversa da "sparare fotoni addosso alla particella"?

Ma il punto è che l'autofunzione corrispondente al valore misurato non è un'autofunzione dell'operatore quantità di moto

La mia domanda era molto più naturalistica, matematicamente sono d'accordo, ma che significa?
Perché mai se io mi metto a guardare al microscopio un elettrone non posso anche vedere a che velocità si muove?
Ovvero il processo fisico di misura della posizione di un elettrone cosa va a "disturbare" in modo così catastrofico da non permettermi di conoscere la quantità di moto? Che cosa è successo all'elettrone dopo che è stato misurato?

In altre parole, non è possibile misurare simultaneamente posizione e quantità di moto con incertezze arbitrarie.

Dovrebbe essere:



Questo significherebbe che se io misuro con certezza la quantità di moto al tempo , allora ho:



ovvero la particella potrebbe essere ovunque nello spazio, ma questo dovrebbe essere assurdo, poiché dovrei sapere con certezza che nel peggiore dei casi si trova in una sfera (nel caso unidimensionale diventa un segmento, ma vabbè ci siamo capiti) di raggio mano mano che passa il tempo .