ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **subliminal** » 19 ott 2016, 15:00

Salve a tutti amici, avrei il seguente quesito da porvi:

Una variabile aleatoria viene definita come una associazione tra ogni risultato dell'esperimento aleatorio e un valore reale tale che

$\left \{ X \le x \right \}$ è un evento.

Qualcuno saprebbe spiegarmi meglio il motivo del " tale che $\left \{ X \le x \right \}$ è un evento? "

Grazie mille.

da **DirtyDeeds** » 19 ott 2016, 15:37

subliminal ha scritto:Una variabile aleatoria viene definita come una associazione tra ogni risultato dell'esperimento aleatorio e un valore reale tale che $\left \{ X \le x \right \}$ è un evento.

La definizione sopra non è proprio corretta, anzi è proprio sbagliata, ma l'idea è che si vuole poter dire, per esempio, qual è la probabilità che

assuma valori tra 1 e 2.

Ricordiamo innanzitutto che uno spazio di probabilità è una tripletta $(\Omega,\mathcal{A},P)$ dove $\Omega$ è lo spazio campione, $\mathcal{A}$ è un'algebra di sottoinsiemi di $\Omega$ (tecnicamente, una $\sigma$ -algebra), detta algebra degli eventi, e la misura di probabilità $P:\mathcal{A}\rightarrow[0,1]$ è una funzione da $\mathcal{A}$ nell'intervallo [0,1]

che soddisfa certe proprietà.

Una variabile casuale è una funzione $X:\mathcal{A}\rightarrow\mathbb{R}$ che ci permette di assegnare valori di probabilità a certi sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ attraverso la misura di probabilità

definita sull'algebra degli eventi. Siccome questa assegnazione di probabilità definisce una misura sullo spazio campione $\mathbb{R}$ , i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ per cui si può parlare di probabilità devono di nuovo formare un'algebra, chiamiamola $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Si pone quindi per definizione

$P(X\in B\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})) := P(X^{-1}(B))$

dove $X^{-1}(B)$ è l'immagine inversa di

attraverso

, ovvero è l'insieme dei punti di $\Omega$ che vengono mappati in

da

.

Perché la definizione sopra possa funzionare, è necessario che $X^{-1}(B)$ sia un evento, cioè appartenga ad $\mathcal{A}$ , per ogni $B\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Si può dimostrare, ma non è così semplice, che perché tale condizione sia soddisfatta, è sufficiente che sia verificata la condizione più semplice che $X^{-1}([-\infty,a])$ sia un evento per ogni

.

da **subliminal** » 19 ott 2016, 15:47

DirtyDeeds ha scritto:
Perché la definizione sopra possa funzionare, è necessario che $X^{-1}(B)$ sia un evento, cioè appartenga ad $\mathcal{A}$ , per ogni $B\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Si può dimostrare, ma non è così semplice, che perché tale condizione sia soddisfatta, è sufficiente che sia verificata la condizione più semplice che $X^{-1}([-\infty,a])$ sia un evento per ogni .

Grazie mille della risposta DirtyDeeds.

Infatti il dubbio mio era proprio questo..perche affinché funzioni è necessario che $X^{-1}(B)$ sia un evento? Nel caso in cui non lo fosse cosa succede?

da **DanteCpp** » 19 ott 2016, 16:14

Se non è un evento, che senso ha calcolare la probabilità che avvenga?

da **DirtyDeeds** » 19 ott 2016, 16:19

subliminal ha scritto:Nel caso in cui non lo fosse cosa succede?

Ricorda che la funzione

è definita sull'algebra degli eventi: se $X^{-1}(B)$ non è un evento, $P(X^{-1}(B))$ non è definita.

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