Pedine e scacchiera

[Carlo51]

Sono ricordi piuttosto lontani anche per me. Io non intendevo tuttavia dare una dimostrazione rigorosa, bensì una regola ed un criterio di verifica in modo da essere stringente per quanto concerne la correttezza delle soluzioni ottenute che possono essere, come visto, più d’una. Anche per questo parlare in termini dimostrativi è forse un po’ azzardato, e l'insieme di regola e criterio può essere una quasi-dimostrazione.

La regola è la seguente:

Per ogni pedina posta lungo un lato della scacchiera ve ne deve essere sempre una posta in posizione simmetrica rispetto ad una diagonale e ruotata rispetto all'altra. Inoltre ogni linea perpendicolare e verticale, che non coincida con un lato della scacchiera, deve incontrare al massimo una pedina.

Il criterio verificativo è il seguente:

Sono in tal modo definite una e una sola volta tutte le origini delle semirette parallele agli assi e di quelle aventi coefficienti +1 e -1 passanti per i centri delle caselle; in tal modo, quantunque alcune rette intersechino più pedine (quelle disposte sul contorno della scacchiera), queste sono tuttavia in numero necessario e sufficiente (non sovrabbondante) per coprire tutti i casi richiesti dal problema.

A maggiore esaustività, si può aggiungere il seguente corollario:
“Da quanto sopra risulta che le pedine devono essere disposte lungo il bordo della scacchiera onde evitare, ad esempio, la presenza di rette diagonali che non intersecano alcuna pedina.”

Grazie.

[richiurci]

Ti ho stuzzicato e ora parli dimostratese

[WALTERmwp]

Ti ho stuzzicato e ora parli dimostratese

il dimostratese ci mancava, altro neologismo.

Saluti

[Carlo51]

Ah l'ironica provocazione! Volevo solo essere un po' chiaro!

Comunque tutto sommato non mi sembra neanche troppo male e questo mi consola.

[richiurci]

dunque... le soluzioni effettivamente sono 6 (anche se 3 sono ottenute per rotazione), eccole:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

L'unica cosa evidente è che i 4 angoli devono essere occupati... mi resta il dubbio che non sia "dimostrato" che non possano esistere altre soluzioni con pedine poste all'interno e non solo sui lati

[Carlo51]

Vorrei tentare di dare una risposta alle perplessità di richiurci che dice:

mi resta il dubbio che non sia "dimostrato" che non possano esistere altre soluzioni con pedine poste all'interno e non solo sui lati

Il problema sta nella “copertura” delle linee diagonali. In una scacchiera sono 30 le linee diagonali possibili le quali vengono completamente coperte, come si è visto, dalle 16 pedine poste sui lati: ogni pedina copre 2 diagonali e si ha pertanto una sovrabbondanza, peraltro ineliminabile, di 2 per il fatto che ogni pedina agli angoli copre anche la medesima diagonale della pedina opposta.
16 è dunque il numero di pedine minimo (necessario e sufficiente) per la totale copertura delle 30 linee diagonali di una scacchiera.
Intendo mostrare che una copertura completa delle 30 linee diagonali, utilizzante pedine interne (non poste lungo il bordo) alla scacchiera, comporta un numero maggiore di 16.
Pensando allora di partire da una delle soluzioni che sono state già individuate, si pensi di spostare una qualsiasi pedina dal bordo verso l’interno della scacchiera lungo una delle linee diagonali che la pedina stessa copriva nella sua posizione originaria. In questo modo si avrà che la pedina copre, nella nuova posizione, due diagonali di cui una era quella lungo la quale si è spostata, e una nuova, perpendicolare a quella, che si presuppone, per quanto più sopra ammesso, sia già coperta da un’altra pedina posta lungo il bordo. Resterà dunque scoperta adesso la seconda delle diagonali che era inizialmente coperta dalla pedina che è stata mossa e che non può evidentemente essere coperta se non da una ulteriore pedina o da un’altra già presente sulla scacchiera la quale tuttavia, spostata dalla sua sede, lascerà scoperta almeno una linea diagonale non coperta da altre per la mostrata assenza di ridondanza (qualora la pedina spostata fosse una pedina d'angolo, la linea diagonale scoperta sarebbe quella perpendicolare a una diagonale principale della scacchiera). Risulta pertanto che una copertura completa delle linee diagonali con pedine interne alla scacchiera può avvenire solo con un numero di pedine maggiore di 16.
c.d.d.