Sistema di equazioni differenziali

[oiram92]

Buonasera a tutti, sto svolgendo degli esercizi di analisi 3 in cui mi si chiede di risolvere dei sistemi di equazioni differenziali (di vario genere). A volte vengono fornite le condizioni iniziali (problema di Cauchy), altre volte mi fornisce soltanto l'insieme di definizione delle funzioni/distribuzioni in esame. Avrei bisogno di un aiuto nel capire come comportarmi con la seconda tipologia..

Ad esempio un classico esercizio con le distribuzioni (da risolvere con Laplace) è :



cioè sono distribuzioni definite in . Bene, in questo caso (non avendo condizioni iniziali imposte) come dovrei comportarmi? Considero le condizioni iniziali nulle? Mi porto appresso i termini per tutto l'esercizio? Non capisco..

PS: ho già provato a svolgere l'esercizio portandomi quei termini fino alla fine e viene una cosa scandalosa..

[IsidoroKZ]

Se le vedi come funzioni di trasferimento, e quindi vai con Laplace, le condizioni iniziali sono nulle. Pero` sentiamo colui che sa, PietroBaima.

[PietroBaima]

Che io sappia mi sembra esagerato , quello che credo è che un problema alle distribuzioni non vincolato sia al di fuori di un corso di Analisi 3.

Per risolverlo correttamente servirebbero delle tecniche di Analisi superiore.
Io proverei a chiedere al prof se intende che le condizioni iniziali siano nulle.

[oiram92]

scusate per il ritardo nella risposta ma ho voluto contattare il prof prima di postare altro e la sua risposta è stata: "Lascia le condizioni iniziali indicate". L'ho fatto e dopo alcuni fogli di quaderno sono arrivato ad una soluzione lunghissima. Questo è masochismo..ma è possibile che in 2 ore di compito devo impiegarne almeno una (procedendo spediti e senza esitazioni) per svolgerne uno solo dei 4 necessari per passare il test con 18? boh..

A questo punto le alternative sono due..o non lo faccio proprio durante il test (per fortuna di questa tipologia ne mette uno solo) oppure se conoscete qualche "trucchetto" che mi faccia guadagnare tempo sarebbe ben accetto. Grazie mille per l'interessamento.

[PietroBaima]

scusa ma non capisco.
Quali condizioni iniziali?

[oiram92]

Quando trasformo il sistema nel dominio di Laplace andrebbe utilizzata la trasformata bilatera (ad esempio in teoria dei sistemi si effettuava la stessa trasformazione per i sistemi a tempo continuo ma utilizzando la trasformata unilatera di Laplace, ovvero considerando le condizioni iniziali siano nulle). In tal caso (con la trasformata bilatera) il sistema trasformato diventa :



dove sono le condizioni iniziali che solitamente vengono assegnate in un problema di Cauchy. In tal caso (non essendo assegnate) me le dovrei portare dietro. Alla fin fine la risoluzione del sistema non è niente di impossibile, infatti ricavando (ad esempio) dalla prima e sostituendolo nella seconda si riescono a trovare senza troppe difficoltà. Il problema sta poi nel decomporre in fratti semplici per poter anti-trasformare e trovare "le soluzioni nel dominio del tempo". Infatti, avendo tutte quelle costanti in giro il processo di decomposizione si allunga di parecchio e le possibilità di sbagliare anche solo per un segno sono molto alte. Se è necessario vi posto l'intero procedimento (cerco di zipparlo un po' sennò uscirebbe fuori un post lunghissimo). Spero di essermi espresso in modo chiaro.