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Definizione del Problema
Si tratta di un pendolo inverso incernierato su di un carrello. Il pendolo è composto di una asta, libera di ruotare attorno al perno che la lega al carrello, e di una massa
applicata all'estremo superiore. L'angolo alla verticale formato dall'asta è 
. Il centro di massa 
del pendolo si trova ad una distanza 
dalla cerniera.Il carrello, di massa
, è in grado di muoversi lungo delle rotaie, le quali sono inclinate di un angolo 
rispetto l'orizzontale. La posizione del carrello lungo le rotaie è 
.Al carrello può essere applicata una forza arbitraria
parallela alle rotaie, mentre al pendolo un momento baricentrico arbitrario 
. Sul sistema agiscono inoltre delle forze di attrito di tipo viscoso e coulombiana.Le equazioni che vorrei ricavare sono le seguenti:
Con
si intende la funzione segno, mentre 
, 
sono i coefficienti di attrito viscoso a cui sono sottoposti carrello e pendolo, e 
è il coefficiente di attrito coulombiano. Con 
si intende il momento di inerzia baricentrico dell'asta.Lagrangiana
Per dedurre tali equazioni seguo l'approccio lagrangiano. Le coordinate libere sono
e , per cui le equazioni di Lagrange, tendo conto delle varie forze non conservative in gioco, dovrebbero essere
Procedo quindi nel determinare la lagrangiana del sistema. Come sistema di riferimento assumo quello individuato dalle rotaie, per cui ridisegno tutto in tale sistema di riferimento. La verticale e l'orizzontale sono indicate con H e V.
La lagrangiana
è data dalla differenza tra l'energia cinetica 
e dell'energia potenziale 
del sistema, pertanto per prima cosa mi ricavo le espressioni di e .Energia Cinetica
L'energia cinetica
del sistema è data la somma dell'energia cinetica del carrello 
e dell'energia cinetica del pendolo 
. L'espressione esplicita della velocità del centro di massa del pendolo la determino derivando rispetto al tempo la posizione del centro di massa del pendolo![\begin{aligned}
&\boldsymbol{r}_\text{cg}=[r-l\sin(\theta-\alpha)]\boldsymbol{u}_r+l\cos(\theta-\alpha)\boldsymbol{u}_n\\
&\boldsymbol{v}_\text{cg}=[\dot{r}-l\cos(\theta-\alpha)\dot{\theta}]\boldsymbol{u}_r-l\sin(\theta-\alpha)\dot{\theta}\boldsymbol{u}_n\\
&v_\text{cg}^2=[\dot{r}^2+l^2\dot{\theta}\!\phantom{,}^2-2l\cos(\theta-\alpha)\dot{r}\dot{\theta}]
\end{aligned}](/forum/latexrender/pictures/d9b88e9aefcddc7935a66a83a3a56116.png "\begin{aligned}
&\boldsymbol{r}_\text{cg}=[r-l\sin(\theta-\alpha)]\boldsymbol{u}_r+l\cos(\theta-\alpha)\boldsymbol{u}_n\\
&\boldsymbol{v}_\text{cg}=[\dot{r}-l\cos(\theta-\alpha)\dot{\theta}]\boldsymbol{u}_r-l\sin(\theta-\alpha)\dot{\theta}\boldsymbol{u}_n\\
&v_\text{cg}^2=[\dot{r}^2+l^2\dot{\theta}\!\phantom{,}^2-2l\cos(\theta-\alpha)\dot{r}\dot{\theta}]
\end{aligned}")
In totale, l'energia cinetica del sistema è dunque pari a
![(5) \quad T=\frac{1}{2}M_c\dot{r}^2+\frac{1}{2}m_p[\dot{r}^2+l^2\dot{\theta}\!\phantom{,}^2-2l\cos(\theta-\alpha)\dot{r}\dot{\theta}]+\frac{1}{2}J_p\dot{\theta}^2](/forum/latexrender/pictures/b589dbab9156a85060b3f88701d54b76.png "(5) \quad T=\frac{1}{2}M_c\dot{r}^2+\frac{1}{2}m_p[\dot{r}^2+l^2\dot{\theta}\!\phantom{,}^2-2l\cos(\theta-\alpha)\dot{r}\dot{\theta}]+\frac{1}{2}J_p\dot{\theta}^2")
Energia Potenziale
Per quanto riguarda l'energia potenziale, l'unica forza conservativa agente sul sistema è la gravità, per tanto sia per il carrello che per il pendolo si hanno termini del tipo
, dove 
è la massa del corpo in questione e 
è la quota del centro di massa del corpo in questione.![\begin{aligned}
&U_c=-M_cgr\sin\alpha \\
&U_p=-m_pg[r\sin\alpha+l\cos\theta]
\end{aligned}](/forum/latexrender/pictures/3ec2e553a40ac2718239642731bba259.png "\begin{aligned}
&U_c=-M_cgr\sin\alpha \\
&U_p=-m_pg[r\sin\alpha+l\cos\theta]
\end{aligned}")
In totale, l'energia potenziale del sistema è dunque pari a
Conclusioni
Conseguentemente, in base alla
e la 
, la lagrangiana del sistema assume la forma![(7) \quad\mathcal{L}=\frac{1}{2}M_c\dot{r}^2+\frac{1}{2}m_p[\dot{r}^2+l^2\dot{\theta}\!\phantom{,}^2-2l\cos(\theta-\alpha)\dot{r}\dot{\theta}]+\frac{1}{2}J_p\dot{\theta}^2+(M_c+m_p)gr\sin\alpha+m_pgl\cos\theta](/forum/latexrender/pictures/13b344b03fc3ad4cec2a18042a944fb6.png "(7) \quad\mathcal{L}=\frac{1}{2}M_c\dot{r}^2+\frac{1}{2}m_p[\dot{r}^2+l^2\dot{\theta}\!\phantom{,}^2-2l\cos(\theta-\alpha)\dot{r}\dot{\theta}]+\frac{1}{2}J_p\dot{\theta}^2+(M_c+m_p)gr\sin\alpha+m_pgl\cos\theta")
A questo punto non resta che inserire la
nella 
e nella 
. Il calcolo dei primi membri mi restituisce
uguagliando ai secondi membri, e riarrangiando i termini, ottengo finalmente
I miei risultati
e 
non sono in accordo con 
e 
. La differisce dalla per il segno del termine potenziale 
, mentre la differisce dalla per la presenza del termine 
. Non riesco a capire se sono io ad aver sbagliato qualcosa da qualche parte o se sono errate la e la .Ringrazio anticipatamente chiunque si cimenti nel problema per darmi una mano.
e non 
, per il quale 
;
che nasce dal calcolo di 
si compensa con un termine uguale che nasce dal calcolo 
