ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **banjoman** » 20 mar 2017, 2:01

Sto aiutando uno studente a preparare un esame di comunicazioni elettriche ma mi sono ritrovato improvvisamente nel pallone quando mi ha chiesto come si risolverebbe una equazione come questa:
a[ 1 + sinc^2(a) ] = p

ove
$a = B\tau$

Sostanzialmente, avendo (nel dominio del tempo) un singolo impulso di durata $\tau$ , centrato nell'origine, si tratta di derminare la banda

tale per cui la potenza percentuale trasmessa sia pari a

. La formula sarebbe, secondo il docente, l'approssimazione utilizzata per a<1

.
E' stato chiesto di determinare B affinche' la potenza trasmessa sia pari all'80% (ovvero p=0,8

). Mi sono scervellato un po', ma non mi viene in mente nessun metodo risolutivo a parte quello di utilizzare metodi numerici (con Maxima o simili).

Io non sono specialista di teoria di segnali, e nei miei appunti e libri ho trovato poco o nulla su cio'.

Avete qualche idea?

O_/

Max

da **g.schgor** » 20 mar 2017, 8:09

Se ti interessa il risultato,
per p=0.8 è a=0.6045

da **banjoman** » 20 mar 2017, 11:12

Grazie

g.schgor

Ma come hai fatto a calcolarlo? A me interessa sapere anche un possibile procedimento risolutivo.
Ho sottomano wxMaxima, ma quando cerco di risolvere quell'equazione mi da' come tutta risposta "unable to solve"

da **Ianero** » 20 mar 2017, 11:38

Non so se ho capito bene il problema, ma in caso affermativo:

$a+a\frac{\sin ^{2}\left( a \right)}{a^{2}}=p$

$a+\frac{\sin ^{2}\left( a \right)}{a}=p$

$a^{2}+\sin ^{2}\left( a \right)=ap$

$ap-a^{2}=\sin ^{2}\left( a \right)$

$ap-a^{2} \approx a^{2}$

$p \approx 2a$

da **Ianero** » 20 mar 2017, 11:43

In caso di non approssimazione si risolve per via grafica:

$\sin ^{2}\left( a \right)=ap-a^{2}$

p=1:

p=2:

e così via...

da **banjoman** » 20 mar 2017, 11:47

Grazie

Ianero
Effettivamente mi ero dimenticato che per a sufficientemente piccolo si puo' scrivere $sin(x)\approx x$ ... :oops:

Ma la risoluzione grafica e' ancora usata nel XXI secolo?

Il risultato indicato da

g.schgor sembra essere stato ottenuto per via grafica o numerica...

da **PietroBaima** » 20 mar 2017, 11:51

Purtroppo non capisco la soluzione di Giovanni

La soluzione esatta è solo numerica.
Però, se scriviamo

$a\left( 1+\text{sinc}^2 a\right)=p$

come

$a\left( 1+\frac{\sin^2 a}{a^2}\right)=p$

ammesso che per la sinc utilizziate la versione non normalizzata (ma con la normalizzata il risultato non cambierebbe)

posso scrivere che

$a^2-pa+\sin^2a=0$

ma se fra le ipotesi ho che a<1 posso approssimare il seno al primo termine di Taylor

$a^2-pa+a^2 \approx 0$

cioè a=0 che è una soluzione che non verifica l'equazione, oppure

$a \approx \frac{p}{2}$

cioè $a \approx 0.4$

con wolframalpha ho che a=0.411341

Ma magari sbaglio qualcosa io.

EDIT: corretta formula errata.

da **PietroBaima** » 20 mar 2017, 11:53

preceduto da

Ianero

da **banjoman** » 20 mar 2017, 11:54

Effettivamente e' la soluzione di

g.schgor che mi lascia spiazzato....

da **banjoman** » 20 mar 2017, 12:23

PietroBaima ha scritto:cioè $p \approx 0.4$

Forse intendevi scrivere:
$a \approx 0.4$

Per il resto tra

PietroBaima e

Ianero non vedo una grinza nei loro ragionamenti. DIrei che il problema puo' considerarsi risolto, dato che si richiede di risolvere l'equazione proprio per valori di a tali che a < 1

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Equazione con sinc^2

[1] Equazione con sinc^2

[2] Re: Equazione con sinc^2

[3] Re: Equazione con sinc^2

[4] Re: Equazione con sinc^2

[5] Re: Equazione con sinc^2

[6] Re: Equazione con sinc^2

[7] Re: Equazione con sinc^2

[8] Re: Equazione con sinc^2

[9] Re: Equazione con sinc^2

[10] Re: Equazione con sinc^2

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits