Risposta in frequenza

[marcot1004]

Volevo chiedervi aiuto su alcuni dubbi riguardo alla risposta in frequenza (premetto che ho già letto sia su internet che sul forum ma non ho chiarito alcuni dubbi).

Nel corso di teoria dei circuiti avevamo definito la risposta in frequenza come rapporto tra il fasore di uscita e quello di ingresso. In quest' ottica la risposta in frequenza era una semplificazione della funzione di trasferimento (anche detta funzione di rete) che non teneva conto della risposta transitoria del sistema. Ciò era possibile quando la funzione di rete è asintoticamente stabile e l'ingresso è sinusoidale (ovvero siamo a regime permanente) (giusto? è passato un po' di tempo quindi non sono sicuro di non dire fesserie )

Ora quello che mi risulta poco chiaro è il legame tra la risposta in frequenza e la trasformata di fourier. Su wikipedia in merito si dice che "In un sistema LTI, infatti, la frequenza (per frequenza intende la frequenza angolare ovvero la pulsazione giusto?) del segnale in ingresso non viene modificata, essendo possibile soltanto l'alterazione di ampiezza e fase. La risposta in frequenza descrive una tale modifica per ogni frequenza possibile".
Ovvero avevamo definito la come rapporto dei fasori di uscita e ingresso proprio perché la frequenza angolare non varia? in quest'ottica possiamo quindi vedere la come il rapporto tra la trasformata di fourier dell'uscita e dell'ingresso?

[Ianero]

Sì, tant'è che la trasformata di Fourier si riduce praticamente al metodo dei fasori quando i segnali sono composti da una armonica sola.

Parlare di pulsazione o frequenza è indifferente, c'è solo un 2 pi greco di mezzo.

Infine non è necessario che l'ingresso sia sinusoidale per usare Fourier, basta che i transitori vengano sempre smorzati e si possa parlare quindi di "risposta a regime".

[IsidoroKZ]

Il fasore e` a una frequenza singola e fissa. Se vuoi la risposta in frequenza devi cambiare la frequenza del fasore fra 0 e infinito e "ricalcolare" il rapporto dei fasori.

Che e` tanto come dire prendere la funzione di trasferimento nel dominio di Laplace, con condizioni iniziale tutte nulle, e valutarlo solo per s=jw con w>0 Questo e` il modo che preferisco, niente j di mezzo fino alla fine (e spesso neanche alla fine!)

[marcot1004]

quindi il metodo dei fasori è un caso particolare di fourier ovvero quando non varia ed è fissata? il legame tra e mi è chiaro e concordo con il fatto che è più facile ragionare in termini di trasformata di laplace e solo alla fine sostituire , però volevo capire il legame che la risposta in frequenza ha con la trasformata di fourier.

Infine non è necessario che l'ingresso sia sinusoidale per usare Fourier, basta che i transitori vengano sempre smorzati e si possa parlare quindi di "risposta a regime".

per usare i fasori però è necessario che l'ingresso sia sinusoidale, giusto? (oltre ovviamente alla stabilità asintotica)

Il fasore e` a una frequenza singola e fissa. Se vuoi la risposta in frequenza devi cambiare la frequenza del fasore fra 0 e infinito e "ricalcolare" il rapporto dei fasori.

non ho capito ... il rapporto tra il fasore di uscita e di ingresso quindi sarebbe la risposta in frequenza calcolata per una fissata? Mentre invece la risposta in frequenza è per ?

[IsidoroKZ]

Il rapporto dei fasori e` la risposta a una determinata frequenza, ed e` un numero complesso. Se vuoi la risposta in frequenza, che vuol dire comportamento per tutte le frequenze, devi far variare la frequenza fra 0 e infinito.

Puoi farlo in modo lungo ricalcolando il rapporto dei fasori frequenza per frequenza (e` quanto fa spice nell'analisi in AC), oppure usi w come variabile e trovi la funzione di w che ti da` il valore della risposta a tutte le frequenze. Le trasformate di Fourier le lascerei ai comunicazionisti. I circuitali usano Laplace.

[marcot1004]

Il rapporto dei fasori e` la risposta a una determinata frequenza, ed e` un numero complesso. Se vuoi la risposta in frequenza, che vuol dire comportamento per tutte le frequenze, devi far variare la frequenza fra 0 e infinito.

Puoi farlo in modo lungo ricalcolando il rapporto dei fasori frequenza per frequenza (e` quanto fa spice nell'analisi in AC), oppure usi w come variabile e trovi la funzione di w che ti da` il valore della risposta a tutte le frequenze. Le trasformate di Fourier le lascerei ai comunicazionisti. I circuitali usano Laplace.

ok capito perfetto grazie mille

Volevo però approfittare della vostra gentilezza per chiarirmi un dubbio venutomi leggendo il martinelli-salerno, in quanto si dice che: "Quando un circuito si trova in regime permanente tutte le grandezze sono di tipo sinusoidale, nelle quali risultano variabili solo ampiezza e fase iniziale mentre resta invariato il valore della pulsazione "

Quindi in merito alla domanda ri-fatta in precedenza

per usare i fasori però è necessario che l'ingresso sia sinusoidale, giusto? (oltre ovviamente alla stabilità asintotica)

la risposta è no, in quanto la stabilità asintotica implica che la risposta transistoria tenda a zero e quindi che sia possibile studiare il circuito in regime permanente e in tal caso le grandezze sono necessariamente sinusoidali... quindi l'unica accortezza per usare i fasori è la stabilità asintotica?

[marcot1004]

ho capito di aver fatto un po di confusione nella mia ultima affermazione....
Il metodo fasoriale si utilizza in regime permanente sinusoidale ovvero quando le eccitazioni (eventualmente anche più di una) sono di tipo sinusoidale e isofrequenziali ed è possibile dividere la risposa in transitoria e permanente. Quindi l'unica condizione da verificare per il metodo dei fasori è la stabilità del circuito (asintotica se con componenti attivi, semplice se il circuito è passivo), la quale implica la suddivisione in risposta transitoria e permanente (la stabilità infatti implica che una parte della risposta totale tenda a zero, ovvero che sia possibile dividere la risposta in permanente e transitoria)
Quindi l'unica cosa da verficare per usare i fasori è la stabilità del circuito, in quanto il fatto che le eccitazioni siano sinusoidali e isofrequenziali è immediato da verificare e risiede proprio nella definizione di regime permanente sinusoidale....

Giusto?

Avendo in ingresso un onda quadra, come si procede?
è possibile approssimare l'onda quadra tramite la serie di fourier e procedere poi con l'analisi fasoriale?
è questa la strada da seguire?

[Ianero]

il fatto che le eccitazioni siano sinusoidali e isofrequenziali è immediato da verificare e risiede proprio nella definizione di regime permanente sinusoidale....

E' immediato vedendo le eccitazioni (ovviamente stiamo parlando di un circuito lineare).

Avendo in ingresso un onda quadra, come si procede?

Un'onda quadra ha infinite armoniche, dovresti applicare i favori infinite volte.
Quindi trasformata di Fourier (in questo caso serie perché è una funzione periodica) dell'ingresso, funzione di trasferimento del circuito e quindi calcolo dell'uscita nel dominio della frequenza.
Infine antitrasformata.

[marcot1004]

E' immediato vedendo le eccitazioni (ovviamente stiamo parlando di un circuito lineare)

quindi come nel messaggio [7] l'unica cosa da verificare è appunto la stabilità del circuito in quanto la verifica che gli ingressi siano tutti sinusoidali ed isofrequenziali è immediata.
Mi confermi anche che se il circuito è passivo e non presenta quindi componenti attivi per essere stabile i poli della funzione di rete devono essere a parte reale negativa o nulla purchè i poli sull'asse immaginario abbiano molteplicità algebrica pari ad uno?

Comunque giusto per curiosità la definizione di regime permanente sinusoidale comprende anche la stabilità, ovvero che risulta possibile dividere la risposta in transitoria e permanente oppure dire che un circuito si trova in regime permanente sinusoidale vuol dire solamente che tutti gli ingressi di tale circuito sono sinusoidali e isofrequenziali (senza dire nulla riguardo alla stabilità)?

Un'onda quadra ha infinite armoniche, dovresti applicare i favori infinite volte.
Quindi trasformata di Fourier (in questo caso serie perché è una funzione periodica) dell'ingresso, funzione di trasferimento del circuito e quindi calcolo dell'uscita nel dominio della frequenza.
Infine antitrasformata.

ok quindi si procede tramite fuorier. Un onda quadra è una funzione periodica costituita da vari rect. Essendo periodica sappiamo che la sua trasformata sarà del tipo e da qui poi procediamo all'analisi giusto?

[Ianero]

Se parli di regime permanente vuol dire che puoi parlare di risposta permanente, ovvero il circuito è stabile.