Teoria dei Segnali: Dubbio frequenza di campionamento

[Patras]

Ho visto nella soluzione di un esercizio che "un segnale a supporto limitato nel tempo è sempre possibile campionare senza perdita". Detto in altre parole esiste una frequenza di campionamento accettabile senza perdere informazione. Ciò mi confonde un po' perché per esempio la trasformata del rettangolo è la funzione sinc che però si estende a tutte le pulsazioni, cioè non c'è una frequenza massima, () ma la funzione rettangolo ha comunque supporto limitato nel tempo. Qualcuno mi può chiarire questo discorso per favore? Forse c'è un errore?

[gac]

Secondo me è un errore di stampa: il supporto deve essere limitato in frequenza, altrimenti sarebbe possibile campionare fedelmente segnali quali la Delta di Dirac e i segnali di tipo porta e impulso triangolare, che hanno banda (quindi supporto in frequenza) infinita e supporto nel tempo finito.

[Patras]

Grazie per la risposta Gac! Ma a quanto pare sono io che non capisco il discorso. Ho riletto la domanda. Il segnale è


Domanda: Campionando con periodo sufficientemente piccolo , è possibile ricostruire esattamente tale trasformata dai suoi campioni?.

Risposta: Si, dalla dualità, dal teorema del campionamento e dal fatto che (?? non eravamo in frequenza) ha supporto (estensione) limitato.

Credo di averla letta male proprio per il fatto che non capisco cosa vuol dire campionare in frequenza. Selezionare le armoniche? Esistono filtri del genere che vanno in risonanza per tutte le armoniche k? E poi ricostruire la trasformata...con interpolatori? ... Cosa vuol dire? Faccio fatica a immaginarmelo, o è veramente sbagliata la risposta?

[gac]

Credo di aver capito cosa intende dire: per dualità (regola fondamentale della trasformata di Fourier) si può definire un teorema del campionamento dello spettro di un segnale, ovvero si applica un treno di delta di Dirac nel dominio della frequenza con passo/spaziatura tra un'armonica e la successiva, a cui corrisponderà un treno di impulsi nel dominio del tempo. Credo che l'espressione sia per dualità (sono partito dall'equazione dello spettro del segnale campionato nel dominio del tempo con treno di impulsi di area che si trova sul mio libro di Teoria dei Segnali) qualcosa del tipo

dove il termine a sinistra è il segnale (l'antitrasformata) dello spettro campionato con passo , mentre a destra hai un'espressione nel dominio del tempo: repliche dell'antitrasformata spaziate di . Quindi si può definire un criterio di Nyquist duale del tipo

dove è il supporto del segnale nel dominio del tempo. A questo punto, la dichiarazione iniziale è sensata: un segnale a supporto limitato nel tempo può essere correttamente campionato in frequenza!
Sinceramente non ho assolutamente idea di come si realizzi fisicamente una cosa del genere, mi sembra solo un complicato esercizio matematico legato ad una proprietà della trasformata di Fourier.

[Patras]

Grazie mille Gac, sei stato molto chiaro. Nella sommatoria ci va la "i" prima di ma vabbè è abbastanza ovvio. Il mio corso è "segnali e sistemi" quindi ci avevano detto che campionare in frequenza è "ripetere" traslando nel tempo ma non credevo che ci fosse questo parallelismo anche per i criteri.

[gac]

Sono riuscito a modificare la formula per fortuna!
Credo di aver capito cosa intendi ma in pratica non mi è mai capitato di affrontare un problema del genere.
La dualità del teorema del campionamento è riconducibile alla linearità della trasformata rispetto alla sommatoria di impulsi e alla dualità intrinseca della trasformata.

[clavicordo]

Il dubbio dovrebbe scomparire se uno pensa che campionare un segnale è la stessa cosa che moltiplicarlo per un'onda quadra e che ciò corrisponde a una modulazione di ampiezza, in cui è facile vedere come si dispone la banda e le sue repliche. Basta ricordarsi le formule di Werner ... ad esempio: