ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **AjeieBrazov** » 17 set 2017, 18:07

Prima la scrivo bene a manina e poi la posto.
Please wait

da **AjeieBrazov** » 17 set 2017, 19:26

Sono andato a ripescare gli appunti di matematica discreta. Ho dovuto riscrivere tutto perché quel {@@!!**} spiegava alla velocità di un razzo! :mrgreen:

Per fare prima faccio conto di conoscere gli assiomi di Peano quindi
- $\mathbb{N}\neq \varnothing$ non è vuoto.
- Esiste lo 0
- Esiste una funzione di successore $\sigma : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ iniettiva ma non suriettiva perché

non è il successore di nessun elemento
- Vale il principio di induzione
Quindi l'unica funzione che ho è la funzione di successore e devo fare il tutto usando solo questa.

Ora voglio definire l'operazione di somma come
$+:\mathbb{N} \times \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$
$(n,m) \mapsto n+m$
La definisco in modo ricorsivo
- 0 + m = m

- $\forall x \in \mathbb{N}: \sigma (n)+m = \sigma(n+m)$
n+m la chiamerò "somma degli elementi n ed m"

(A) Ora dico che $\sigma(0)+m = \sigma(m)$ per ogni $m \in \mathbb{N}$
Dimostrazione:
Secondo la definizione che ho dato di "somma" $\sigma(0)+m = \sigma(0+m)=\sigma(m)$
A questo punto il successore di

lo chiamo

, quindi
$\sigma(m) = 1+m$ per ogni $m \in \mathbb{N}$ . Il successivo lo ottengo dalla somma aggiungendo 1 a sinistra dell'argomento perché non so ancora se la somma è commutativa o no, e quindi lo dimostro.

(B) Ora dico che n+1=1+n

per ogni $n \in \mathbb{N}$
Dimostrazione:
Secondo quello che ho scritto al punto (A) voglio dimostrare che
$n+ \sigma (0) = \sigma(n)$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e lo assumo come ipotesi induttiva
base: $0= \sigma (0) = \sigma(0)$ e quindi qui ci siamo.
passo induttivo: $\sigma(n)+\sigma(0)=\sigma(n+\sigma(0))$
per l'ipotesi induttiva $n+\sigma(0)=n$
quindi $\sigma(n)+\sigma(0)=\sigma(n+\sigma(0))=\sigma(\sigma(n))$
Finalmente posso dire che $\sigma(n)=n+1=1+n$

Ma la somma è anche associativa cioè (a+b)+c=a+(b+c)

per ogni $a,b,c \in \mathbb{N}$
Lo dimostro per induzione su a
base: (0+b)+c=b+c=0+(b+c)

e ci siamo
passo induttivo: $(\sigma(a)+b)+c=\sigma((a+b)+c)=\sigma(a+(b+c)=\sigma(a)+(b+c)$

Ora ci sarebbe anche da dimostrare la proprietà di cancellazione della somma e via dicendo.

L'insieme $\mathbb{Z}$ è molto più incasinato perché i numeri sono coppie di un prodotto cartesiano NxN.

da **DanteCpp** » 17 set 2017, 19:54

Sono d'accordo, ma in questo contesto $2\in 1$ non ha significato, semplicemente perché non si sa cos'è $\in$ .

da **AjeieBrazov** » 17 set 2017, 21:58

Oddio, io lo leggo "2 è un elemento di, appartiene a 1".

Poi, per carità, conosco poco ...

da **AjeieBrazov** » 18 set 2017, 10:33

DanteCpp ha scritto: $\bigcup \mathbb N = \mathbb N$

quindi

$\bigcup \mathbb N \notin \mathbb N$

Questo non è affatto vero. L'unione (che hai anche scritto male perché non dice "quanti" N unire) di tanti N corrisponde a N.

Ma, a dire il vero, mi hai fatto passare la voglia di fare dimostrazioni. O_/

da **DanteCpp** » 18 set 2017, 13:52

AjeieBrazov ha scritto:Ma, a dire il vero, mi hai fatto passare la voglia di fare dimostrazioni.

Mi dispiace

da **PietroBaima** » 18 set 2017, 15:11

https://it.wikipedia.org/wiki/Peter_Frederick_Strawson

da **EcoTan** » 18 set 2017, 15:27

DanteCpp ha scritto: $\frac{\text{vero}+\text{falso}}{2}$

Sì, la verifica sperimentale data dai risultati del referendum in questo momento conferma una tale assunzione.

da **EcoTan** » 18 set 2017, 19:51

PietroBaima ha scritto:https://it.wikipedia.org/wiki/Peter_Frederick_Strawson

Questa distinzione fra proposizione e asserzione mi fa ricordare una frase di "Dal big bang ai buchi neri" di Hawking che mi ha colpito e dice più o meno: ammesso di avere le equazioni che descrivono l'universo, perché poi questo si dà la pena di esistere?

da **sebago** » 19 set 2017, 8:51

PietroBaima ha scritto:https://it.wikipedia.org/wiki/Peter_Frederick_Strawson

Perdinci

PietroBaima, capisco di più (pressapoco nulla) i tuoi splendidi interventi di matematica. Almeno sono belli da leggere...

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Vero o falso?

$2\in1 \Rightarrow 1 \in 2$

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