Controlli: dipendenza della risposta dallo stato iniziale

[Patras]

Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi con il mio dubbio. Sto cercando di rispondere a una domanda teorica di controlli automatici.
La domanda è posta così:
Si consideri un modello ingresso/uscita LTI a tempo continuo causale descritto dall'equazione differenziale:
,

e e sollecitato dal segnale di ingresso:

con costante e gradino

Come cambiano nel dominio del tempo la risposta di regime permanente e la risposta transitoria? (la domanda non era proprio così ma l'ho riassunta, spero bene)
Per completezza vi scrivo che cioè risposta libera + risposta forzata che è anche uguale a:



cioè risposta transitoria più permanente.

Alla domanda principale io risponderei dicendo che la risposta libera è l'unica che dipende dalle condizioni iniziali e quindi diventa nulla (?). quindi cambia solo la risposta transitoria che ora diventa:



è giusto secondo voi?

[Peternek]

Secondo me è giusto dire che la risposta libera è l'unica a dipendere dalle condizioni iniziali però non vuol dire che si annulla per condizioni iniziali pari a zero. Posso dirti che semplicemente cambiano i vari coefficienti nella risposta libera ma non saprei darti una legge che leghi questi coefficienti alle condizioni iniziali.

[dimaios]

Come cambiano nel dominio del tempo la risposta di regime permanente e la risposta transitoria? (la domanda non era proprio così ma l'ho riassunta, spero bene)

Come cambiano rispetto a quale altro segnale in ingresso ?

[Patras]

Pardon! scusate ma la domanda era formulata male perché l'ho scritto solo nel titolo del thread.

Come cambiano in base alle condizioni iniziali.

Cioè considerate prima le condizioni iniziale nulle, se invece non fossero nulle ma delle costanti reali, come cambierebbero le risposte?
Secondo me la risposta a regime permanente rimane uguale mentre quella a regime transitorio cambia ma non so se ci sia una logica riguardo a come cambia... si può dire qualcosa a priori a prescindere ai valori delle condizioni iniziali?

[dimaios]

Si può dire che se il sistema è LTI i poli della risposta libera sono identici a quelli della risposta forzata.
La risposta in evoluzione libera é nota dalle solite formule di teoria del controllo e ricavabile dai coefficienti dell'ODE.

[Patras]

Grazie per la risposta. Nella forzata però ci sono anche altri poli/zeri in più arrivati dall'ingresso che tra l'altro potrebbero cancellare certi poli che ci sono in comune alla risposta libera ma tralasciando questi casi particolari quindi mi par di capire che anche Lei mi conferma che si potrebbe solo dire che la risposta libera ha solo i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali del ODE mentre i poli sono sempre gli stessi che dipendono dai coefficienti che sono fissi nel ODE.

[dimaios]

.... si potrebbe solo dire che la risposta libera ha solo i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali del ODE mentre i poli sono sempre gli stessi che dipendono dai coefficienti che sono fissi nel ODE.

Non proprio. I coefficienti dipendono dal sistema dinamico perché sono una caratteristica implicita. La funzione complessa della risposta libera viene moltiplicata per lo stato iniziale del sistema. Concettualmente si devono separare le caratteristiche intrinseche dai valori iniziali arbitrari. L'arbitrarietà della condizione iniziale indica solo una combinazione diversa dei modi del sistema ma le possibili forme d'onda della scarica ( se il sistema è asintoticamente stabile ) dipendono solo ed esclusivamente dalla natura del sistema ovvero dai modi e non dalla condizione iniziale.
Quello che si osserverà in uscita è evidentemente funzione della condizione iniziale ma quali sono le forme d'onda ricombinabili lo decide solo ed esclusivamente il sistema.

[Patras]

Grazie mille ora ho capito!