ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **oiram92** » 16 feb 2018, 20:58

Buonasera, a breve avrò l'esame di elettronica II e sto cercando di farmi più domande possibili su ogni argomento in modo tale da essere ben preparato per un "botta e risposta". Però sento che ci sono alcuni punti in cui le mie risposte sembrano deboli o magari anche insulse. Veniamo al dunque:

Chi sono $\omega_T$ e $\omega_{GBW}$ e perché si ha $\omega_T = \omega_{GBW}$ ?
La pulsazione $\omega_T$ è la pulsazione di attraversamento, ovvero quella particolare pulsazione per cui il grafico di Bode della risposta in frequenza del circuito attraversa gli 0dB (o in modo analogo quel valore della pulsazione per cui il modulo della risposta in frequenza è unitario). Mentre la $\omega_{GBW}$ (da quello che ho capito) è l'insieme di tutte quelle pulsazioni appartenenti alla banda passante del sistema e che si trovano intorno a quelle pulsazioni $\omega$ per cui il modulo del guadagno d'anello è unitario. Il perché si ha $\omega_T = \omega_{GBW}$ è implicito nella frase precedente. Da questo inoltre si vede che il prodotto guadagno-banda è costante.

Tuttavia, questa spiegazione non mi convince..anche perché so che questo legame ci consente di studiare il comportamento a ciclo chiuso dall'analisi del sistema a ciclo aperto e non riesco a vedere il nesso con quello che ho appena scritto..qualcuno potrebbe spiegarmelo (o darmi un link anche in inglese) che spieghi chiaramente questa cosa che è fondamentale?

D: Quando compensiamo un circuito con una capacità C_C

(non importa dove o come) per ottenere il margine di fase desiderato utilizziamo la relazione:

$K = \frac{\omega_{p2}}{\omega_{GBW}} = \frac{\frac{1}{R_{CL}\cdot C_L}}{\frac{T_0}{R_{CC}\cdot C_C}}$

perché $\omega_{GBW} = \frac{T_0}{R_{CC}\cdot C_C}$ ?

A questa non riesco a darmi risposta, sono certo che è strettamente correlato con la domanda precedente ma non riesco a capirlo..Qualcuno può aiutarmi? L'ansia da esame mi annebbia la mente e non mi fa ragionare in modo efficace..

da **oiram92** » 17 feb 2018, 17:50

Spulciando i miei appunti di controlli automatici credo di aver risposto da solo alle mie domande, tuttavia chiedo un vostro riscontro (spero positivo). Dunque:

Consideriamo inizialmente un sistema a ciclo aperto e per semplicità supponiamo che abbia un solo polo (approssimazione a polo dominante) alla pulsazione $\omega_P$ . La funzione di trasferimento del sistema sarà allora:

$a(s) = \frac{a_0}{1+\frac{s}{\omega_P}}$

Per definizione, la pulsazione di transizione $\omega_T$ è quella pulsazione per cui il diagramma di Bode del sistema attraversa gli 0dB pertanto:

$|a(j\omega_T)| \approx \frac{a_0}{\frac{\omega_T}{\omega_P}} = 1 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \omega_T = a_0 \cdot \omega_P$

dove a_0

è il guadagno statico del sistema.

Se adesso applichiamo un feedback negativo al precedente sistema tramite una rete passiva di resistori avente funzione di trasferimento $\beta$ , la nuova funzione di trasferimento del sistema diventa:

$A(s) = \frac{a(s)}{1+\beta\;a(s)} = \frac{\frac{a_0}{1+\frac{s}{\omega_P}}}{1+\beta \frac{a_0}{1+\frac{s}{\omega_P}}} = \frac{\frac{a_0}{1+\beta a_0}}{1+ \frac{s}{(1+\beta a_0)\omega_P}}$

Da questa salta subito all'occhio il fatto che il guadagno statico si è ridotto di un fattore pari a $(1+\beta a_0)$ mentre il polo è stato spostato ad una pulsazione più alta avendolo moltiplicato per lo stesso fattore. Da questo segue che il guadagno è diminuito ma la banda del sistema è aumentata, il tutto di uno stesso fattore, pertanto il prodotto guadagno-banda è rimasto costante. Inoltre, proprio per il fatto che la rete di retroazione è passiva (quindi non inserisce poli o zeri aggiuntivi) vediamo che la pulsazione di transizione resta invariata, infatti:

$|A(j\omega_T)| \approx \frac{\frac{a_0}{1+\beta a_0}}{\frac{\omega_T}{(1+\beta a_0)\omega_P}} = 1 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \omega_T = a_0 \cdot \omega_P$

quindi (approssimativamente) è la stessa di quella a ciclo aperto. Questo significa che (per le proprietà della rete) è possibile analizzare i poli e gli zeri (e quindi la risposta in frequenza) del sistema a ciclo chiuso a partire dall'analisi del sistema a ciclo aperto.

Infine, nelle precedenti relazioni è implicito il fatto che:

$\omega_{GBW} = \omega_T = a_0 \cdot \omega_P$

ed il motivo è che, come detto poco fa, il prodotto guadagno-banda resta costante nel passaggio dal ciclo aperto al ciclo chiuso. Quindi, praticamente, la $\omega_{GBW}$ fa da collante tra l'analisi a ciclo chiuso e quella a ciclo aperto.

Da un punto di vista teorico invece, il tutto si basa sul criterio di Nyquist (dimostrato a partire dal criterio di Cauchy) il quale afferma che è possibile analizzare la risposta in frequenza e la stabilità del sistema a ciclo chiuso a partire dal sistema a ciclo aperto. La spiegazione è molto semplice ed è sostanzialmente la stessa cosa che abbiamo appena fatto. Infatti, scrivendo la funzione di trasferimento a ciclo aperto ed a ciclo chiuso si vede che il denominatore della funzione di trasferimento a ciclo chiuso (quindi i poli) non sono altro che zeri e poli della funzione di trasferimento a ciclo aperto.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Teoria circuiti retroazionati

[1] Teoria circuiti retroazionati

[2] Re: Teoria circuiti retroazionati

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits