Risoluzione rete resistiva di grandi dimensioni

[venexian]

@PietroBaima
Partendo da una matrice qualsiasi o da una matrice sparsa, è possibile ridurla a una triangolare o quasi triangolare, come quelle che hai citato, senza caricarla completamente in RAM?

[PietroBaima]

E’ possibile, ma non si fa quasi mai perché:

1. Devo comunque avere la matrice originale già memorizzata in RAM da qualche parte e, se il sistema è enorme, questo è già un problema,
2. posso preprocessare la matrice per pseudotriangolarizzarla, ma spesso questo costa quasi come invertirla (invertire una matrice costa come risolvere tre sistemi lineari),
3. spesso è peggio avere una matrice pseudotriangolare densa che una matrice sparsa “a chiazze”.

La capacità di calcolo necessaria per risolvere sistemi così complessi è spesso distribuita, quindi sono stati messi a punto metodi che permettono di rendere la matrice a blocchi, i cui blocchi sono sottomatrici a strisce o almeno di Hessemberg, poi si dividono i vari blocchi in una pipeline che si ordina a catena, nel senso che la soluzione di un Hessemberg precedente serve per il blocco pipeline successiva.
Quando una unità di calcolo ha finito passa immediatamente la soluzione all’elemento della pipeline successivo. Se il metodo è iterativo si può dimostrare che, facendo così, ad ogni “scatto” della pipeline, la velocità di convergenza aumenta, sebbene vengano cambiate le carte in tavola al problema mentre il metodo iterativo sta ancora girando.

L’elemento della pipeline che ha finito scatta di una posizione e l’ultimo carica un nuovo blocco della matrice. Il metodo chiaramente si arresta quando la pipeline collassa sull’ultimo elemento.

Questo sistema ha permesso di calcolare pi-greco con miliardi di cifre decimali giuste.

[DrCox]

Prima devi cercare di ridurre il problema dal punto di vista fisico, oppure renderlo scalabile.

Visto che si tratta di film nanogranulari, non si riesce a decomporre il problema?
Dal punto di vista concettuale, se consideri ad esempio una sottoporzione del dominio che stai analizzando, la conscenza del potenziale sul bordo di questo dominio ti permette sempre di dedurre, a posteriori, il potenziale nei vari nodi interni.
Dunque, invece di risolvere il problema per lati, perché non ridurre il problema a risolvere sotto-insiemi, dove il problema consiste nel trovare il profilo di potenziale sul boundary delle sottoregioni selezionate?

Una volta implementata questa cosa, dovrebbe essere di facile iterazione.

[DarwinNE]

Io penso che per problemi di questo genere l'approccio più ragionevole sia quello di utilizzare un metodo statistico di tipo Monte Carlo. Non ha senso cercare di risolvere "esattamente" un problema così complesso di cui non penso si disponga di una conoscenza sufficiente. Non credo che sia ragionevole misurare la posizione con notevole esattezza di 10^11 grani in un film e risolvere il sistema lineare corrispondente. E se fabbrichi un nuovo film riparti da zero e lanci una campagna di misura di un mese ed un calcolo di due settimane?

Per esempio, per me è uno spreco adottare una potenza di calcolo così rilevante come quella richiesta per risolvere un problema con tante incognite se lo spessore del film, poniamo, è noto solo con un'incertezza del 10%. Meglio adottare un metodo che dia il risultato approssimato all'1% ed accontentarsi.

Molto meglio avere un'idea sulla statistica dei grani e cercare di riprodurre con un approccio statistico alcuni dei dati misurabili (c'è tantissima letteratura sui metodi Monte Carlo) ed andare per gradi fino ad ottenere i parametri elettrici di cui hai bisogno, sempre tenendo presente che quello che è importante è quello che si può misurare.

Non dico che non sia interessante studiare i metodi per decomporre il problema su un supercomputer o una grossa workstation, intendiamoci, ma non mi pare che sia l'approccio adatto al problema iniziale che è quello di un film granulare che è già di per sé qualcosa di statistico...

[PietroBaima]

Non sapevo che il problema vertesse su questo argomento, anche se immaginavo che semplificarlo prima dal punto di vista fisico e solo dopo dal punto di vista algebrico fosse la strategia corretta.

Un sistema che ha un numero di incognite confrontabile col numero di atomi nell’universo è roba da guida galattica

Comunque, sostanzialmente concordo con Davide. Un metodo Montecarlo o un metodo di riduzione statistica dovrebbero funzionare molto meglio di una previsione esatta.

Se comunque il problema resta incasinato si può pensare, dopo averlo ridotto statisticamente, di valutare la precisione richiesta e con questa elaborare un criterio di arresto per un metodo numerico iterativo.

[DanteCpp]

Non potrei essere più d'accordo, ma chi sta sopra di me vuole portarsi dietro l'informazione di ogni singolo atomo della struttura. Che sia una buona idea o meno questo è un altro discorso! Comunque il caso di cui ho chiesto è quello limite di collegamento tra ogni atomo. Sicuramente ha senso introdurre un raggio di cutoff, ma il problema rimano comunque enorme a spanne. Si potrebbe togliere un altro zero considerando le celle elementari piuttosto che gli atomi, ma queste non sono decisioni che posso prendere io

[PietroBaima]

Questo significa che non si rende conto di quanto problematico sarà risolvere un sistema di quelle dimensioni.

Nel mio piccolo mi è capitato di affrontare un problema lineare di complessità pari a circa e ti assicuro che garantire convergenza, verificare che le soluzioni avessero senso e garantire la precisione richiesta mi hanno fatto sputare l'anima.
Era una matrice di conversione da un formato ad un altro per un TV e doveva essere anche fatta in fretta.

Secondo me quando chi ti segue si renderà conto del problema rilasserà le richieste

[DanteCpp]

Ma si che se ne rende conto, secondo me si aspetta di trovare più informazioni rispetto ad un modello a grana più grossa. Si finirà per non trovare un bel nulla o addirittura qualcosa di senza senso (anche perché con questo approccio mi sembra problematico mettere nel conto l'effetto tunnel) a quel punto si guarderà il problema da una distanza più ragionevole. Spero che per questo bastino i modelli giocattolo 2d con molti meno gradi di libertà.

PS. è come voler calcolare l'orbita terrestre tenendo conto della deriva dei continenti (ma forse neanche questo rende l'idea).

[fairyvilje]

Comunque il caso di cui ho chiesto è quello limite di collegamento tra ogni atomo. Sicuramente ha senso introdurre un raggio di cutoff, ma il problema rimano comunque enorme a spanne.

Dimenticati questo problema .
Un problema full quantistic con poche decine di atomi è il cap massimo per ogni tecnologia presente attualmente, e sono stato gentile. Pure usando tecniche di dinamica molecolare non si può esagerare troppo e come ha detto DarwinNE uno dei metodi più comuni qui è sfruttare tecniche monte carlo in una delle innumerevoli salse.
Con il coarse grain hai l'unico modo di rendere computazionalmente ragionevole il tuo sistema. Basta che le tue celle siano abbastanza grandi e ben descritte da un force field. Ecco la seconda parte è il problema .
E comunque questi metodi semi-classici faticano a giustificare la temperatura di equilibrio, figuriamoci l'effetto tunnel se è quello che vuoi vedere .

[DanteCpp]

Non voglio vedere l'effetto tunnel, quello so che c'è (ed è rilevante viste le dimensioni in gioco) e vorrei tenerlo in conto. Il mio obbiettivo è determinare il vettore densità di corrente. Metodi quantistici si possono applicare se si sceglie bene la scala (sicuramente non quella atomica ). Comunque stiamo uscendo un po' fuori tema, inoltre io posso dare la mia opinione ma non ho l'ultima parola, altrimenti sicuramente non starei esplorando questa via.