Affinare il linguaggio

[Ianero]

A 'sto punto seguendo le tue orme diventa facile anche dimostrare il successivo (che per come lo facevo io era un incubo), ossia ordinare l'insieme:



in modo tale che risulti .

Aggiungo per quando vuoi una domanda sempre su questo.
Dice di verificare che questo insieme non è Archimedeo, ma il principio di Archimede è un teorema che coinvolge direttamente i numeri reali (e il suo sottoinsieme degli interi). Quindi non vedo come generalizzarlo a questo insieme (dovrei verificare che valgono gli assiomi dei reali per questo insieme dei polinomi fratti?).

Quello che mi viene in mente è far vedere che non vale l'assioma di completezza, in modo che di conseguenza non valga neanche il principio di Archimede...

[DirtyDeeds]

Quindi non vedo come generalizzarlo a questo insieme (dovrei verificare che valgono gli assiomi dei reali per questo insieme dei polinomi fratti?)

Prendi l'enunciato del principio di Archimede, e dove c'è un numero reale ci sostituisci una funzione razionale fratta. L'intero lo lasci intero. Nella formulazione dello Zorich diventerebbe (lo scrivo in inglese in modo che tu possa mapparlo direttamente):

For any positive rational function and any rational function there exists a unique integer such that .

Nota che con questo enunciato implica

For any rational function there exists a unique integer such that .

Per dimostrare che le funzioni rationali non sono un corpo archimedeo basta allora trovare un tale per cui per ogni . Per esempio, prendi , allora



perché .

La scelta non è ovviamente l'unica possibile: la dimostrazione funziona con qualunque polinomio di grado 1 o maggiore con coefficiente di grado più alto positivo.

[Ianero]

Grazie mille DD!

Questa generalizzazione dell'enunciato di Archimede per te era ovvia che fosse fatta in questo modo? (mettendo una fratta al posto dei reali ma lasciando l'intero com'è)
Zorich non lo specifica perché lo dà per scontato?
Per me ad esempio non lo era affatto..

Come mai ad esempio sarebbe stato sbagliato sostituire al reale una fratta e all'intero un altro polinomio fratto ma a coefficienti interi?

[Ianero]

Come mai ad esempio sarebbe stato sbagliato sostituire al reale una fratta e all'intero un altro polinomio fratto ma a coefficienti interi?

Ho capito il perché.
Facendo le cose passo passo bisogna prima verificare che l'insieme dei polinomi fratti a coefficienti razionali o reali -chiamiamolo - soddisfa gli assiomi dei reali (non preoccupandosi però di verificarne la completezza).
Poi, i "naturali" di sono tutti gli elementi del suo più piccolo sottoinsieme induttivo contenente l'unità moltiplicativa. Tale unità moltiplicativa in questo insieme coincide con il polinomio di grado nullo con coefficiente unitario, che chiamo: .
A questo punto il più piccolo insieme induttivo contenente coincide proprio col solito , quindi l'insieme degli interi coincide proprio con , da cui...

[Ianero]

Non voglio farti perdere troppo tempo, ma avrei proprio bisogno di un tuo lume DirtyDeeds, per favore.

Sono due interi giorni che sto cercando di capire veramente cosa significhi l'assioma di scelta, ma al di là del suo significato profondo, vorrei chiedere prima un controllo su questo suo enunciato:

For any family of non-empty sets there exists a set such that for each set in the family, consists of exactly one element.

che viene dal solito libro che mi hai consigliato a pagina 29 (V. A. Zorich - Mathematical Analysis I - English Edition).

Forse manca qualche precisazione in più nell'enunciato o è veramente la sua versione più generale (o almeno quella adottata dal libro)?
Perché se così fosse mi sa che c'è una incongruenza che viene fuori considerando, ad esempio, gli insiemi:







In questo caso l'insieme di cui sopra non può esistere...

Bisogna inserire come condizione che gli insiemi siano disgiunti? Anche se si possono trovare esempi in cui quell'insieme esiste anche per famiglie di insiemi non disgiunti.

[DirtyDeeds]

Forse manca qualche precisazione in più nell'enunciato

Non mi sembra

o è veramente la sua versione più generale (o almeno quella adottata dal libro)?

In realtà l'assioma di scelta ha molte forme equivalenti. Una semplice è questa: data una relazione esiste una funzione tale che (cioè da una relazione è possibile estrarre una funzione con lo stesso dominio).

Perché se così fosse mi sa che c'è una incongruenza che viene fuori considerando, ad esempio, gli insiemi:

Prendiamoli E prendi . Allora:





Vedi che ogni intersezione ha esattamente un elemento?

[Ianero]

Prendiamoli E prendi . Allora:

Non c'è anche 4

[DirtyDeeds]

Hai ragione, my bad!

In effetti, sì, manca una condizione: gli insiemi devono essere a coppie disgiunti. La mancanza è stata corretta nell'ultima versione del libro.

[Ianero]

Ho cercato ma non ho trovato la definizione di "a due a due disgiunti", immagino sia una cosa meno forte di "insiemi disgiunti", giusto?

Grazie dell'aiuto.

[Ianero]

Come non detto, trovata, ed è anche più forte del richiedere che la famiglia sia disgiunta.
Grazie ancora.