Calcolo parametri statistici processo aleatorio

Messaggioda **Axv** » 24 apr 2018, 15:45

Salve,
vi chiedo gentilmente di aiutarmi a calcolare alcune cose riguardo al seguente processo aleatorio:
$m(t)=A[cos(\omega_m t+\Phi)+sin(\omega_m t+\Phi)]$
Dove A e Phi sono due variabili casuali rispettivamente distribuite in modo uniforme fra [0,2] e [0,2Pigreco] e fm= 5 kHz

Di questo processo devo calcolare autocorrelazione, PSD, banda e potenza.

Ho proceduto in questo modo:
- Autocorrelazione
$R_m=E[m(t)m(t-\tau)]=$
$\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}A^2[cos(\omega_m t+\Phi)+sin(\omega_mt+\Phi)]\cdot [cos(\omega_mt-\omega_m\tau+\Phi)+sin(\omega_m t-\omega_m\tau+\Phi)] d\Phi dA$

$=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}A^2 cos(\omega_m\tau)+sin(\omega_m\tau)+sin(2\omega_m t+2\Phi-\omega_m\tau) d\Phi dA$
Escludendo l'ultimo termine in Phi, dato che il suo integrale sul periodo darebbe 0, ottengo
$\frac{4}{3}cos(\omega_m\tau)+sin(\omega_m\tau)$

- PSD
Per quanto riguarda la densità spettrale di potenza, ho usato la formula
$S_f=\int_{-\infty}^{+\infty}R_m\cdot e^{-j\omega_m\tau}d\tau$
che dovrebbe corrispondere alla trasformata di Fourier in Tau dell'autocorrelazione, quindi
$\frac{4}{3}\cdot [\frac{\delta}{2}(f+f_m)+\frac{\delta}{2}(f-f_m)+\frac{j\delta}{2}(f+f_m)-\frac{j\delta}{2}(f-f_m)]$

Su banda e potenza (ammesso che le precedenti siano corrette) ho incontrato qualche difficoltà. Essendo una somma di funzioni sinusoidali, le cui trasformate sono impulsi centrati in -fm e +fm, la sua banda è la distanza fra 0 e +fm, quindi corrisponde ad fm? Per quanto riguarda la potenza, posso calcolarla moltiplicando la densità spettrale per la banda?

Infine, ho letto che in alcuni casi è possibile lavorare su una funzione campione del processo, ovvero una sua realizzazione. Avrei potuto farlo anche qui?

Scusate se ho chiesto troppo, ma non vado mai sicuro quando devo risolvere esercizi di trasmissioni. Vi ringrazio per l'aiuto.

Messaggioda **dimaios** » 2 mag 2018, 21:39

Premetto che non ho controllato i calcoli nel dettaglio per cui parto dall'ipotesi che siano giusti. :cool:

Cerco di rispondere sinteticamente alle domande che hai posto.

Axv ha scritto:....quindi corrisponde ad fm?

La banda di un segnale impulsivo è nulla per definizione. Se tu avessi più impulsi a frequenze diverse dovresti prendere l'intervallo tra la minore e la maggiore ma essendocene solo una la frequenza minore e maggiore sono identiche per cui la banda risulta identicamente nulla.

Axv ha scritto:Per quanto riguarda la potenza, posso calcolarla moltiplicando la densità spettrale per la banda?

Avendo la densità spettrale di potenza espressa per esempio $\frac{W}{Hz}$ devi integrare nell'intervallo di frequenze ove vuoi calcolare la potenza. Siccome hai delle delte dei Dirac l'integrale è il modulo che moltiplica la distribuzione di Dirac stessa.

Axv ha scritto:Infine, ho letto che in alcuni casi è possibile lavorare su una funzione campione del processo, ovvero una sua realizzazione. Avrei potuto farlo anche qui?

Non capisco esattamente a cosa ti riferisci. Probabilmente, se ho intuito cosa stai cercando, devi riguardare la definizione di processo ergodico.

Messaggioda **Axv** » 5 mag 2018, 17:08

dimaios ha scritto:La banda di un segnale impulsivo è nulla per definizione. Se tu avessi più impulsi a frequenze diverse dovresti prendere l'intervallo tra la minore e la maggiore ma essendocene solo una la frequenza minore e maggiore sono identiche per cui la banda risulta identicamente nulla.

Infatti ho trovato strano che mi si chiedesse di calcolare la banda di un segnale sinusoidale. Ho pensato di applicare la formula della banda rms, ma quella vale è per i segnali passa-basso.

dimaios ha scritto:
Non capisco esattamente a cosa ti riferisci. Probabilmente, se ho intuito cosa stai cercando, devi riguardare la definizione di processo ergodico.

Sì mi rferivo al processo ergotico. Secondo il libro di testo, nella maggior parte dei casi reali, se il processo è stazionario in senso lato, si può supporre che sia ergotico.

Messaggioda **dimaios** » 5 mag 2018, 18:40

Axv ha scritto:Secondo il libro di testo, nella maggior parte dei casi reali, se il processo è stazionario in senso lato, si può supporre che sia ergotico.

Da piccolo mi raccontarono che se un processo è ergodico è anche stazionario ma non viceversa.
Coi tempi moderni anche i processi aleatori si saranno evoluti e la teoria gender comporta che le implicazioni logiche abbiano sempre pari dignità. :mrgreen:

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