Energia-materia

[EcoTan]

Dunque nel post [13] a riposo v=0 gamma=1 e l'energia cinetica è pari all'energia totale? (PostScriptum Un corpo fermo avrebbe una energia cinetica enorme ! )
C'è qualcosa che non va, e poi nella lagrangiana gamma sta a denominatore anzichè a numeratore.

[Ianero]

Dunque nel post [13] a riposo v=0 gamma=1 e l'energia cinetica è pari all'energia totale?

Infatti non ho considerato presenza di energia potenziale.

C'è qualcosa che non va, e poi nella lagrangiana gamma sta a denominatore anzichè a numeratore.

Non c'è niente che non va, deve stare a denominatore.

[EcoTan]

Della lagrangiana non so, soltanto mi pareva strano che il termine dell'energia cinetica diminuisse all'aumentare di v.
Ma alla fine quello che mi interessa capire è se la interpretazione fornita al post [10] di DrCox sia corretta o meno (secondo me è corretta).
Parlo di interpretazione perché il difetto di massa di una molla che si distende non penso sia misurabile.

[Ianero]

Della lagrangiana non so, soltanto mi pareva strano che il termine dell'energia cinetica diminuisse all'aumentare di v.

I termini della lagrangiana sono singolarmente delle energie, ma la lagrangiana in sé non ha interpretazione immediata con la fisica che descrive. In sostanza, il fatto che sia a denominatore non ti deve sconvolgere.
Altrimenti potresti altrettanto chiederti: perché l'energia potenziale ha il segno meno e non più, anche nella forma classica?

[DrCox]

E' davvero importante distinguere quale tipo di energia un corpo possiede? Che si tratti di energia termica, cinetica, elettrochimica, o quant'altro, si tratta sempre e solo di energia posseduta dal corpo in questione. E tale energia si manifesta come una massa equivalente.
E' per questo che una molla compressa pesa più di una molla identica a riposo, benchè in entrambi i casi l'oggetto sia perfettamente STATICO.

Spostare un elefante a lato della strada richiede tanta energia. Spostare un elefante arrabbiato a lato della strada richiede ancor più energia (non ricordo se l'energia da arrabbiatura sia studiata nei corsi di laurea )

[Ianero]

Questa però non è una risposta.
Come ho scritto prima la nella formula di Einstein è cinetica, non qualsiasi forma.

E' davvero importante distinguere quale tipo di energia un corpo possiede?

Beh, sì, per quello che ho scritto prima.

E tale energia si manifesta come una massa equivalente.

Continuo a non essere d'accordo, sempre per quanto scritto prima, con la matematica.

Se mi sbaglio sono felice di ricevere correzioni.

[DrCox]

L'esempio di una batteria carica vs batteria scarica è forse di più facile visualizzazione rispetto alla molla compressa-a riposo.

Se consideriamo la batteria come un singolo oggetto a riposo, la matematica non consente di dimostrare l'aumento di peso dell'oggetto dovuto all'extra energia (chimica, in questo caso), esattamente per le argomentazioni da te portate relativamente al fatto che la massa relativistica dipende dalla velocità. L'errore in questo ragionamento sta proprio nel considerare la batteria (o la molla nell'altro caso) come se fosse il famoso "corpo puntiforme" che si studia a Fisica 1.

La differenza di massa che deriva dall'avere la batteria carica, piuttosto che scarica, è conseguenza di diversi potenziali elettrostatici degli elettroni rispetto ai nuclei degli atomi. In modo più intuitivo, è come dire che quando la batteria si scarica gli elettroni si muovono più vicini ai nuclei (in media), e questa differenza nell'energia di interazione tra i vari costituenti della materia si traduce nella differenza di massa.
Tenendo conto che la batteria non è un oggetto puntiforme, ma è un aggregato di atomi, aventi la loro energia, puoi considerare, come da te proposto, l'espressione della massa relativistica che tiene conto della velocità (degli elettroni): tale velocità è funzione del modo in cui gli atomi sono riarrangiati all'interno della batteria (ovvero, se la batteria è carica o no).

Se questa continua a non essere una risposta sono felice di ricevere spiegazioni sull'errore da me commesso.

[Ianero]

E se invece ho un corpo puntiforme, fermo, immerso in un potenziale?

[EcoTan]

Il ragionamento che conduce a E=mCC è debolissimo se non fosse convalidato dall'esperienza.
Prima si estende la conservazione della quantità di moto di un sistema isolato dal riferimento classico a quello spaziotemporale (ma perché?) poi si sostituisce la derivazione rispetto al tempo t con la derivazione rispetto all'invariante s o tempo proprio (ma perché?) infine si osserva che la "ex-quantità di moto" costante appena definita si può spezzare in un termine pari a mCC + un secondo termine che, alle velocità ordinarie, somiglia alla classica energia cinetica mvv/2. Allora poiché la energia cinetica può trasformarsi in ogni altra forma di energia....................................
da una legge di conservazione valida per un sistema isolato si dovrebbe riuscire a passare a un principio di equivalenza valido in generale...........
L'energia trasformandosi perde velocità v e riacquista massa m quindi ha trasferito energia e massa insieme..... io l'ho capita così.

[DrCox]

Ragionando sulla questione e provando a rispondere, sono incappato anche io in qualche dubbio. Provo con questo post a ripartire da zero e chiarire le idee, in primis a me stesso.

L'equazione:
....................(1)
è valida per una particella libera a riposo (ovvero, in assenza di potenziali e con velocità nulla, rispetto al sistema di riferimento inerziale in cui è collocata), dove rappresenta la massa a riposo e è l'energia posseduta dal corpo per il fatto stesso di avere una massa.

Mettiamo in moto il corpo. L'equazione estesa per una particella in movimento diventa:
....................(2)
dove rappresenta la massa relativistica del corpo in movimento. Nel caso specifico di si ha e riotteniamo Eq. (1). Da Eq. (2) segue la seguente espressione
....................(3)
dove rappresenta la quantità di moto del corpo.

Siamo arrivati a questo punto senza scomodare energie potenziali di alcun tipo. Le equazioni riportate fino ad ora sono valide solo e soltanto in assenza di potenziali.
Già con queste equazioni però possiamo considerare l'effetto di eventuali fotoni. Se il corpo in questione assorbe fotoni, cosa succede? Essi hanno massa a riposo nulla ed una quantità di moto diversa da zero, che dunque contribuisce all'energia totale, che a sua volta si manifesta come un incremento di massa (se provi a spostare il corpo, ti serve una forza maggiore).

Aggiungiamo un ulteriore elemento. Ipotizziamo che il nostro corpo sia anche dotato di una carica +Q e sia immerso in un campo elettromagnetico. L'equazione precedente NON E' PIU' VALIDA. Bisogna considerare una sua versione estesa, che tenga specificamente conto del contributo all'energia del corpo dato dal potenziale. Tale equazione può essere scritta estendendo Eq. (3) come segue:
....................(4)
dove ed rappresentano la componente spaziale e temporale (nello spaziotempo-4D) del potenziale elettromagnetico. Il termine è l'energia potenziale.

Altre forme di energia (e.g. gravitazionale) comprendono analoghe correzioni (o meglio, estensioni) delle equazioni. Qualsiasi forma estesa può comunque sempre essere riscritta in termini di

dove rappresenta la massa del corpo dovuta a tutte le forme di energia in esso presenti (massa a riposo, componente cinetica, energie potenziali, ...) ed è chiaramente diversa dalla massa a riposo e dalla massa relativistica


Per concludere, benchè ad intuito la questione sia chiara (se il corpo possiede più energia, di qualsiasi natura essa sia, la sua massa aumenta), le equazioni usate all'inizio non funzionano e richiedono una correzione (estensione).

....
Una lettura carina che ho trovato in rete che copre parte di questi discorsi è la seguente:
[1] Brillouin, L. (1965). The actual mass of potential energy, a correction to classical relativity. Proceedings of the National Academy of Sciences, 53(3), 475-482