quantità di moto e oscillazione

[ziomangrovia]

Soluzione: 0.403

In questo esercizio pensavo di classificare l'urto come perfettamente anelastico visto che il moto dei due corpi prosegue alla stessa velocità uno attaccato all'altro.
inoltre la quantità di moto prima e dopo l'urto dovrebbe essere costante.
Sono deduzioni corrette?

Inizialmente mi veniva da dire : i due corpi hanno la stessa velocità in quanto arrivano al punto più basso nello stesso istante ma poi ho scartato questa ipotesi in quanto il testo dice che si dondolano e non c'e' scritto la partenza dell'oscillazione.
Ma non so come andare avanti

[IsidoroKZ]

La partenza dell'oscillazione e` specificata essera dalla stessa altezza, supponi che partano insieme e si scontrino nel punto piu` basso.

[ziomangrovia]

La partenza dell'oscillazione e` specificata essera dalla stessa altezza, supponi che partano insieme e si scontrino nel punto piu` basso.

quando si scontrano di sicuro le loro velocità sono le stesse e valgono

[claudiocedrone]

" ...le liane sono allineate con l'orizzontale quando i due iniziano...

...non c'e' scritto la partenza dell'oscillazione...

...

non farti distrarre da Tarzan gorilla e liane (potrei capire da Jane... ) sono semplicemente due pendoli, fatti i disegnini, due pendoli di identica lunghezza appesi al medesimo punto che partono orizzontali uno da destra e uno da sinistra, scendono uno verso l'altro, si incontrano in basso quando raggiungono la verticale unendosi l'uno con l'altro, hanno però massa differente percui il moto della massa congiunta prosegue nella direzione in cui stava andando quello di massa maggiore per fermarsi (poi ovviamente invertirebbe la direzione per continuare la pendolazione ma ciò non interessa minimamente ai fini dell'esercizio come altrettanto ininfluente è se quello di massa maggiore proviene da destra o viceversa) quando raggiunge un angolo di 35° con la verticale...

...quando si scontrano di sicuro le loro velocità sono le stesse...

...beh... mi sa che se provavi ad affermare il contrario arrivava lo spirito di Galilei a dirtene quattro

[ziomangrovia]

In effetti mi chiedo come mai non abbiano messo Jane !

Ottimo spunto!

Allora alla luce delle vostre riflessioni posso affermare che:

= massa di Tarzan
= massa del Gorilla
= velocità di Tarzan
= velocità del Gorilla
= velocità del centro di massa relativa ai due corpi






quindi

Facendo considerazioni energetiche:

da cui

per cui posso uguagliare

Poi mi fermo. Devo sviluppare l'espressione e raccogliere i fattori massa?

[IlGuru]

Più che altro ti ritrovi di mezzo quella v che andrebbe ricavata dall'energia cinetica di uno dei due quadrumani.
Non sono sicuro del procedimento, ma non si poteva partire dal confronto delle energie potenziali del sistema prima e dopo l'urto?
Io ci ho provato in questo modo ma il risultato non mi torna con quello riportato dall' OP.

[venexian]

Scusami zio... sono in ritardo, ma spero che che quello che segue ti possa comunque essere d'aiuto.

Riscrivendo l'esercizio in modo meno pittoresco, ma di più facile comprensione, suonerebbe più o meno così

Due punti materiali di masse diverse e , con , sono sospesi allo stesso punto fisso con due connessioni inestensibili di massa trascurabile. Lasciati liberi di muoversi allo stesso istante, da posizione con sospensioni orizzontali, opposte e tese, si scontrano sulla verticale del punto di sospensione con urto perfettamente anelastico, proseguendo la corsa nella direzione posseduta dalla massa maggiore. Si calcoli il rapporto necessario affinché i due punti materiali uniti raggiungano un'altezza massima corrispondente a un angolo si 35° della sospensione con la verticale.

Stabiliamo innanzitutto alcuni punti fermi:
1. Si conserva la quantità di moto
2. Non si conserva l'energia (1)
3. Le due masse si muovono con la stessa velocità (2) fino al loro punto di incontro.

Stabiliamo anche un verso per le velocità al momento dell'urto. Stabilire questo verso è fondamentale per il corretto calcolo della quantità di moto che, al contrario dell'energia, può assumere anche valori negativi. Prendiamo per positivo il verso della velocità della massa maggiore, così sarà positiva anche la velocità dopo l'urto.

Scriviamo qualche formula.



questa è la formula che stabilisce la conservazione della quantità di moto nel caso di due masse che si urtano in modo perfettamente anelastico. La stessa formula, con la notazione dell'esercizio diventa



dove con si intende il modulo della velocità (uguale e contraria) delle due masse al momento dell'urto, mentre con si intende il modulo della velocità di uscita dall'urto. L'ultima formula può riscriversi come



e quindi come



dove con si indica il rapporto tra le velocità, che scritto in questa forma assume un aspetto particolarmente elegante. Ricordiamoci ora che l'esercizio ci chiede un altro rapporto ( per semplicità)



Sfruttando l'ultima equazione in quella precedente possiamo scrivere (ancora più elegantemente di prima)



e ricavare quindi come



Vediamo allora di stabilire quanto valga questo rapporto di velocità. Dal moto del pendolo sappiamo che la velocità orizzontale nel punto minimo e stabilita dall'equazione (3)



con ovvio significato dei termini. Nel nostro caso, indicando con la lunghezza della sospensione, possiamo scrivere le due velocità come (4)





Possiamo ora fare il rapporto tra le velocità e ottenere .



Sostituendo quest'ultima in quella che definisce si ottiene



La soluzione fornita con l'esercizio è corretta.

(1) Precisiamo che l'energia si conserva sempre. Scrivendo che l'energia non si conserva, si intende dire che non si conserva nell'ambito della cinematica che stiamo adottando. Parte dell'energia si trasforma in energie che esulano dall'ambito preso in considerazione (essenzialmente energia termica) pertanto ci si permette di affermare tale 'non conservazione'.

(2) Si precisa in modulo, perché le velocità vettoriali sono una speculare rispetto all'altra con piano di mezzeria definito da una retta giacente verticale passante per il punto di sospensione, e da un'altra retta perpendicolare che unisce i due punti materiali al momento iniziale della loro corsa.

(3) Equazione che si ottiene dalla conservazione dell'energia nella trasformazione da energia potenziale (gravitazionale) a energia cinetica.

(4) In quanto sempre per la conservazione dell'energia si applica lo stesso principio in (3) e l'altezza raggiunta dopo l'urto è ottenuta dalla semplice equazione trigonometrica

[ziomangrovia]

Tutto perfettamente chiaro e preciso, come sempre!
Se avessi un professore così all'università sarebbe impossibile non capire.

La mia difficoltà più grossa era nel trovare il rapporto tra le masse, ed in particolare i valori di e , non credo ci sarei mai arrivato, è geniale l'idea.

[venexian]

Mi è stato fatto notare un refuso nel messaggio [7].

La definizione di è come richiesto dall'esercizio, non come erroneamente trascritto da me.

Infatti, il risultato è inferiore all'unità, come è giusto aspettarsi con la massa minore al denominatore e qualla maggiore al denominatore.

Chiedo a un moderatore di modificare [7] per maggiore chiarezza.

[IlGuru]

Ora è tutto corretto?