Risposta impulsiva di un circuito RL

[PietroBaima]

dunque i due termini dell'espressione fornita da Andrea2000 dimensionalmente si possono sommare, però non sono tensioni.

Leggi bene quello che ho scritto.

[Andrea2000]

Scusate se rispondo solo ora ma, in questi giorni, ci stanno massacrando di compiti.

Allora, ho qui alcune domande per Pietro.
Nel tuo post del 23/01/2019, ore 16:16, affermi:

La delta di Dirac ha come dimensione l’inverso della dimensione del suo argomento.

Come si dimostra questa affermazione? Sono proprio curioso perché l'idea che avevo io della delta era la seguente:
è una funzione del tempo con uno "strano" andamento: vale sempre zero, lungo tutto l'asse dei tempi, tranne che nell'origine dove vale infinito. Come funzione del tempo può essere qualunque cosa: una tensione, una corrente, ecc.
Stando così le cose dovrebbe essere chiaro, comunque, che si tratta di un segnale non riproducibile nella realtà e la sua utilità risiederebbe nel fatto che se tu alimenti un sistema, avente una certa fdt, con la delta, in uscita ottieni un segnale la cui trasformala di Laplace è la trasformata di Laplace della fdt del sistema.
Sembrerebbe un modo per dire:
"non conosco la fdt di questo sistema (magari perché troppo complessa da analizzare, oppure non lineare, o non so cos'altro) e allora me la misuro così come scritto nel periodo precedente".
Però, a questa affermazione, mi viene da obiettare:
"si te la misuri, va bene, ma come fai ad applicare all'ingresso di quel sistema una delta se in pratica la delta non è riproducibile?"

Altra domanda. Quando scrivi:

Da cui chiaramente

che cosa vuoi intendere? Forse che le dimensioni della delta sono l'inverso delle dimensioni di s? Ovvero che la delta ha le dimensioni di un tempo?

Per il momento mi fermo qui, con le domande (che poi sono le più importanti, soprattutto, la prima).
Grazie.

[PietroBaima]

Come si dimostra questa affermazione?

L’ho scritto nel post in cui parlavo delle sue dimensioni.
Se integri la delta su tutto R ti ritrovi 1, o, se preferisci essere più formale, puoi scrivere la funzione di campionamento che realizza la delta:



Applicando l’operatore , cioè “dimensioni di” ottengo che





Ovviamente le unità di misura di f sono le stesse, indipendentemente dal punto in cui la valuto, per cui posso semplificare [f(t)] con [f(0)]:





Dove quella s sta per “secondi”, quindi:

Stando così le cose dovrebbe essere chiaro, comunque, che si tratta di un segnale non riproducibile nella realtà e la sua utilità risiederebbe nel fatto che se tu alimenti un sistema, avente una certa fdt, con la delta, in uscita ottieni un segnale la cui trasformala di Laplace è la trasformata di Laplace della fdt del sistema.

Non è riroducibile nella realtà, ma è approssimabile con una porta alta e stretta.
Molto utile è fare il calcolo della fdt con una porta alta e stretta e capire quale informazione del sistema viene persa rispetto all’eccitazione fatta con una delta di dirac.

che cosa vuoi intendere? Forse che le dimensioni della delta sono l'inverso delle dimensioni di s? Ovvero che la delta ha le dimensioni di un tempo?

Come dicevo prima s sono secondi, e le dimensioni della delta sono l’inverso di un tempo, che giustifica l’inserimento della tau nella tensione con la delta data al circuito quale ingresso.

[MarcoD]

Pietro ha già risposto meglio di me, ma avevo iniziato a rispondere, ed ecco il mio contributo (modesto).

"si te la misuri, va bene, ma come fai ad applicare all'ingresso di quel sistema una delta se in pratica la delta non è riproducibile?

Approssimi la delta con un impulso avente una durata il cui reciproco è una frequenza/2,
Frequenza molto maggiore della frequenza massima di risposta del sistema.
Tanto se fai una misura commetti imprecisioni e approssimazioni.
Di solito, come segnale di prova, si preferisce utilizzare il suo integrale, ossia il gradino.
Anche il gradino è una funzione solo teorica: non si può veriare istantaneamente una grandazza fisica,
ma molto bene approssimabile nella realtà.

[EcoTan]

Bisognerà quindi scrivere che la tensione di ingresso valga

Tau è =L/R oppure vale 1? (opterei per la seconda: cosa ci vieta di stabilire il segnale che vogliamo inviare indipendentemente dal circuito?)

[PietroBaima]

opterei per la seconda

Opti bene
Quella Tau mi serve per far quadrare le dimensioni della Vi, che alla fine devono essere quelle di una tensione, se voglio essere coerente. Posso sceglierla come mi pare, per assurdo anche pari a L/R, se voglio, tanto la funzione di trasferimento non ne è affetta.

Come mio gusto personale porrei V0*Tau=1 V*s, ma tanto vale lasciarla indicata in modo simbolico.

Adesso però bisogna calcolare l’uscita, sapendo che la trasformata dell’ingresso vale V0*Tau...

[Andrea2000]

Scusate se intervengo poco ma faccio molta fatica a capire bene. D'altronde non posso neanche pretendere di comprendere tutto velocemente e bene. Se penso che ho cominciato a sentir parlare di questo oggetto (delta di Dirac) solo qualche mese fa e che anche il concetto di derivata ed integrale lo abbiamo cominciato a vedere da quest'anno.

Comunque, questo intervento sicuramente qualche contributo di chiarezza me lo ha dato (anche se lo voglio rileggerlo più volte per capirlo meglio):

Approssimi la delta con un impulso avente una durata il cui reciproco è una frequenza/2,
Frequenza molto maggiore della frequenza massima di risposta del sistema.
Tanto se fai una misura commetti imprecisioni e approssimazioni.
Di solito, come segnale di prova, si preferisce utilizzare il suo integrale, ossia il gradino.
Anche il gradino è una funzione solo teorica: non si può veriare istantaneamente una grandazza fisica,
ma molto bene approssimabile nella realtà.

E poi, in rete, ho trovato questo contributo:

http://significatofisico.blogspot.com/2 ... ac_38.html

che qualche luce (non molta, in verità) me l'ha data.

Per il resto attendo le argomentazioni di Pietro che mi sembra molto ferrato sull'argomento e che ringrazio davvero tanto.

[PietroBaima]

Cosa vorresti sapere/non ti è chiaro?

[EdmondDantes]

Studiando su un buon testo di elettrotecnica, le risposte si trovano.
Una rete elettrica che presenta un generatore impulsivo ideale non ha nessun riscontro fisico. E' irrealizzabile.
Tuttavia e' possibile fornirne una interpretazione fisica.
Un generatore di tensione impulsivo che fornisce un flusso (Vs) all'induttore L, e' in grado di indurgli una variazione di corrente a gradino pari a .
Dualmente, un generatore di corrente impulsivo che fornisce la carica Q al condensatore C, e' in grado di indurgli una variazione di tensione a gradino pari a .
La variazione a gradino si ripete...

Molti testi di elettrotecnica e teoria delle reti, anche importanti, definiscono i generatori impulsivi mediante , sottintendo tutto il resto (in quanto imposti a 1 Vs e 1 C). E' scorretto, ma i testi presuppongono che i lettori abbiano studiato certi argomenti altrove.
L'errore formale, comunque, rimane.

La risoluzione del problema puo' essere affrontata in diversi modi (almeno 3 modi diversi).

Per quanto riguarda le unita' di misura delle grandezze fisiche L-trasformate, possiamo leggere questo post.

E ora ritorno ai miei studi di esegesi su testi completamente diversi.

[Andrea2000]

Mi scuso, in anticipo, per la lunghezza del post. L’obiettivo è quello di far capire, al lettore, quali sono le mie difficoltà in merito a questa discussione.

Allora, prendiamo la funzione seno. Si tratta di una funzione che varia tra 1 e -1 con quell’andamento che è noto a tutti. E’ una successione continua di numeri reali privi di dimensione. Bene. Adesso consideriamo un generatore che ai suoi morsetti mostra una d.d.p. che non si mantiene costante, come una batteria, ma che varia. Il morsetto A è positivo rispetto al morsetto B. Poi questa d.d.p., tra i due morsetti, comincia ad aumentare fino a raggiungere un massimo, diciamo A (ampiezza). Da quell’istante comincia a diminuire fino a raggiungere lo zero. A quel punto il potenziale sul morsetto A è lo stesso di quello sul morsetto B. Poi tutto si inverte ed il morsetto B diviene positivo rispetto al morsetto A. Se poi la legge di variazione matematica che governa questa variazione di d.d.p. è quella della funzione seno allora moltiplico la funzione seno per la costante A, sostituisco all’angolo x la quantità ωt ed ottengo una tensione sinusoidale.



Ecco, in questo modo ho trasformato una successione continua di numeri reali puri in una successione continua di numeri reali che hanno, ciascuno, la dimensione del volt.
Ora, vado oltre. Supponiamo che tale tensione sia alternata (ovvero a valor medio nullo) ed immaginiamo di integrarla tra due estremi di integrazione che distano, tra loro, la quantità di un periodo. Ottengo zero ma, in realtà, dovrei dire:



Ovvero, il processo di integrazione ha consentito il calcolo di un area che misuro in volt x secondo.
Poi, se divido tale valore per il periodo otterrò ancora zero; ma, ancora una volta, dovrei dire zero volt.

Se ora faccio lo stesso ragionamento con la funzione a gradino,



(che è uguale a 1 per t>t0 e zero altrove)

che è quasi fisicamente realizzabile, posso ripetere le stesse considerazioni. Quella successione continua di valori reali, privi di dimensione, posso trasformarli in una successione continua di valori reali ognuno dei quali rappresenta una tensione. E come? Prendo una batteria e la collego ad un interruttore aperto che, all’istante t=t0, chiudo.

Ora, per traslazione, posso immaginare di ripetere lo stesso ragionamento con la delta; ma, evidentemente, non è così. Eppure anche la delta è una successione continua di valori, tranne che in zero, dove osservo due discontinuità: da 0- a 0 e da 0 a 0+.
Ognuno di questi valori, per quanto nullo, nella mia testa, sarebbe un numero puro. Un numero puro che poi, con lo stesso meccanismo visto per la sinusoide e per la funzione a gradino, diventerebbe una tensione (o una qualunque altra grandezza fisica). Ma, appunto, evidentemente non è così.

Ecco, spero di essere riuscito a rappresentare la mia confusione.

Ringrazio anche EdmondDantes per il suo contributo che, però, devo leggere con attenzione. Almeno due volte. Almeno.