[trasformata di Laplace di una funzione]

Messaggioda **FabY** » 7 feb 2019, 10:13

Buongiorno .

Devo calcolare la trasformata di Laplace della seguente funzione .

Per ora sono riuscito a descrivere la funzione della parte di sopra .
Per la parte di sotto mi serve un aiuto.

La prima parte e' la seguente :

f(t) = 2r(t)-4r(t-2)+2r(t-4)......?

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Messaggioda **DrCox** » 7 feb 2019, 10:31

Nel tratto che ti porta da (0,0) a (2,2) hai una retta con pendenza 1 che passa per l'origine:

Nel tratto che ti porta da (2,2) a (6,-2) hai una retta con pendenza -1 che passa per y=4: -t+4

Nel tratto da (6,-2) in poi hai zero

Combinando queste informazioni, hai

$u(t) = t \mathcal{H}(0) ...$ per ottenere la retta con pendenza 1 che ti porta da (0,0) a (2,2)
$-t \mathcal{H}(2) ...$ per "annullare" l'effetto del termine precedente nel tratto da (0,0) a (2,2)
$+ (-t+4) \mathcal{H}(2) ...$ per ottenere la retta con pendenza -1 che ti porta da (2,2) a (6,-2)
$- (-t+4) \mathcal{H}(6) ...$ per "annullare" l'effetto del termine precedente ed avere zero

dove $\mathcal{H}(t)$ è la funzione gradino di Heaviside

Messaggioda **FabY** » 7 feb 2019, 10:53

Grazie per avermi risposto.

Il tuo modo di scrivere mi confonde un po' . Si differenzia dal mio.
Quell'H grande non l'ho mai utilizzata.

Come faccio poi a calcolare la trasformata di laplace ?

Sul ragionamento niente da dire.

Se non ti costa molto potresti riscriverla come la scrivo io ?

r(t)

per la rampa
u(t)

per il gradino

(E' troppo importante per me capire come si costruisce un segnale di questo tipo )

Grazie.

Messaggioda **DrCox** » 7 feb 2019, 12:16

FabY ha scritto: Il tuo modo di scrivere mi confonde un po' . Si differenzia dal mio.
Quell'H grande non l'ho mai utilizzata.
Se non ti costa molto potresti riscriverla come la scrivo io ?
per il gradino

DrCox ha scritto:dove $\mathcal{H}(t)$ è la funzione gradino di Heaviside

Questo è esattamente il gradino, la tua u(t)

(tralasciando il fatto che nel grafico hai indicato come u(t)

anche il nome della funzione, sull'asse delle ordinate).

Ora hai in mano una somma di gradini. Come fai la trasformata di Laplace di funzioni a gradino? Comincia tu ad impostare la risposta poi continuiamo

Messaggioda **FabY** » 7 feb 2019, 14:03

Vediamo di arrivarci per gradi.

Ho dato un'occhiata a questo metodo e scrivo quello che credo di aver capito .

H(t) =u(t)=u_0(t)

Per il momento mi fermo perché' non sono sicuro di aver scritto bene .

Sicuramente ci saranno degli errori .

Se fin qui e' giusto , il passo successivo provo a scrivere l'equazione finale.

Messaggioda **DrCox** » 7 feb 2019, 15:57

Riscrivo per sistemare un'imprecisione che mi è scappata nel post precedente:

$u(t) = t \mathcal{H} (t) - t \mathcal{H} (t-2) +(-t+4) \mathcal{H} (t-2) - (-t+4) \mathcal{H} (t-6)$
$= t \mathcal{H} (t) +(-2t+4) \mathcal{H} (t-2) - (-t+4) \mathcal{H} (t-6)$

dove H(t-t_0)

significa che hai un gradino =0 prima di t0, =1 dopo t0.

Cominciamo.
La trasformata del gradino è:
$\mathcal{L}\{\mathcal{H}(t) \} = \frac{1}{s}$
La trasformata del gradino shiftato nel tempo quanto vale?
$\mathcal{L}\{\mathcal{H}(t-t_0) \} = ?$

Questi vari gradini sono moltiplicati o per delle costanti o per dei termini proporzionali a

.
La trasformata del gradino moltiplicato per t quanto vale?
$\mathcal{L}\{t \mathcal{H}(t) \} = ?$

Prova intanto a risolverlo così. Una volta risolto, prendiamo una strada alternativa.
Cosa rappresenta

moltiplicato per la funzione gradino?
Quale è la trasformata di Laplace questo oggetto?

Messaggioda **FabY** » 7 feb 2019, 16:16

Ti ringrazio della tua pazienza.

Intanto rispondo alle tue domande poi provo a risolvere il problema.
Tra un po' devo interrompere perché non ho piu' tempo .
Domani (se non mi molli ) possiamo riprendere .
Grazie.

$\mathcal{L}\{ \mathcal{H}(t - a) \} = \frac{e^{-as}}{s}$

$\mathcal{L}\{t \mathcal{H}(t) \} = \frac{1}{s^{2}}$

Ci siamo ?

Messaggioda **DrCox** » 7 feb 2019, 16:45

Bene.
Ora devi solo mettere insieme le varie cose (ricordando che la trasformata di Laplace è un'operazione lineare) ed hai il risultato finale.

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