Trasformazioni di Lorentz inverse

[StellaTriangolo]

Salve a tutti. Ho un dubbio in merito alle trasformazioni inverse di Lorentz:





In particolare non mi è ben chiaro se queste si ottengono a partire da quelle dirette svolgendo dei calcoli oppure semplicemente considerando una velocità relativa di segno opposto e scambiando di posto le coordinate. Inoltre, ditemi se è corretto il seguente ragionamento. Supponiamo di avere due diversi sistemi inerziali S ed S'. Supponiamo di avere due oggetti di lunghezza propria L identici, uno in S e uno in S'. Voglio dimostrare:
-utilizzando le trasformazioni dirette che un osservatore solidale ad S vede contratta la lunghezza che si muove solidalmente col sistema S'



-utilizzando la trasformazione inversa invece che un osservatore solidale ad S' vede contratta la lunghezza dell'oggetto che si muove solidalmente col sistema S :

[Ianero]

Sì, è vero, dimostralo.

[StellaTriangolo]

Consideriamo un oggetto di lunghezza propria che si muove solidalmente con il sistema S'. Sia S' in moto rettilineo uniforme lungo l'asse x rispetto al sistema S. Vogliamo misurare la lunghezza dell'oggetto dal sistema S. Nel sistema S', dove l'oggetto è fermo, la sua lunghezza è:



applicando le trasformazioni di Lorentz esprimiamo queste coordinate in funzione delle coordinate del sistema S:




ottenendo la seguente relazione:



ma per definizione di lunghezza gli estremi dell'oggetto devono essere rilevati nello stesso istante del sistema S, cioè bisogna porre ottenendo:



ossia che la lunghezza dell'oggetto in moto rispetto al sistema in quiete, misurata nel sistema in quiete risulta ridotta di un fattore uguale a gamma.

Ma dal punto di vista del sistema S', è S a muoversi con velocità rispetto ad S. Supponendo di avere un oggetto identico stavolta solidale ad S, la sua lunghezza in S vale:



Ma sempre per definizione di lunghezza in S', dobbiamo porre ottenendo:



Ditemi se il ragionamento è giusto.

[Ianero]

Yes