Funzione di trasferimento e Risposta in frequenza

[g.schgor]

In un recente topic (Diagrammi di Bode), si e’ discusso della differenza fra
Funzione di Trasferimento e Risposta in Frequenza di un blocco,
Poche’ ho la sensazione che permanga tuttora una certa confusione fra i due
concetti e convinto che le immagini siano piu’ esplicative di molte parole,
ho preparato con MathCad grafici che spero contribuiscano al chiarimento.

Dunque una FdT e’ una funzione della variabile complessa s (variabile di Laplace)
solitamente indicata come H(s), che rappresenta il rapporto fra le funzioni
(sempre in s) del segnale di uscita rispetto al segnale d’ingresso di un blocco.

L’utilita’ del metodo e’ la possibilita’ di convertire in questa forma una relazione
differenziale dei segnali nel tempo (trasformazione di Laplace), elaborarla
opportunamente per ricavarne forme note, per poi ottenere da queste ultime
(antitrasformazione di Laplace) l’andamento nel tempo del segnale d’uscita dal blocco.

Poiche’ esprime il comportamento intrinseco del blocco, la H(s) viene anche
utilizzata nella progettazione di anelli di regolazione.
La forma piu’ diffusa di questa utilizzazione e’ il Diagramma di Bode, che pero’
limita l’analisi alle componenti sinusoidali dei segnali.
In altre parole si considera solo il rapporto fra la sinusoide d’uscita rispetto a
quella di ingresso, rapporto che varia in funzione della “frequenza” della sinusoide
stessa. Tale andamento e’ chiamato “risposta in frequenza” del blocco e viene
solitamente indicato con H(jw), dove w(omega) e’ la pulsazione (=2pi*f ).

Ecco allora l’esempio: con MathCad si e’ impostata una H(s) che contiene 3
punti di discontinuita’, s1 che manda a 0 la funzione ed s2, s3 che la fanno
andare all’infinito.
Si e’ quindi calcolato il modulo (in decibel,dB) della funzione per la sua
rappresentazione
Tutto il programma MathCad e’ questo:

FunTrasf0.GIF (2.89 KiB) Osservato 11044 volte

e la sua rappresentazione sul piano complesso s, e’ questa:

FunTrasf1.GIF (9.62 KiB) Osservato 11044 volte

dove appaiono evidenti le localizzazioni dei punti di discontinuita’.

Ancora piu’ interessante e’ la rappresentazione spaziale della funzione:

FunTrasf2.GIF (13.05 KiB) Osservato 11044 volte

in cui e’ reso piu’ evidente l’effetto di tali discontinuita’, ed e’ possibile
individuare il piano in cui viene tracciato il diagramma di Bode, cioe’
la risposta in frequenza , H(jw).

L’importanza pratica di questo diagramma nella regolazione automatica e’
formidabile, e sono disponibile per tutte le richieste di sue applicazioni
concrete che dovessero essere poste.

[dona79]

esaustivo come sempre giovanni,
ottima sopratutto la rappresentazione 3D, è molto chiarificatrice.
Invito a lasciare questa discussione nel TOP, in modo che sia sempre disponibile

[serbring]

NON si Quota tutto! Grazie
Ciao,

ho un piccolo dubbio. Supponendo che io ho un sistema nel quale applico in input un'eccitante di frequenza variabile. Misuro la risposta del sistema. Faccio la FFT del segnale di ingresso, di uscita, e successivamente ne faccio il rapporto tra le due quantità. In questo caso non otterrei la funzione di trasferimento, bensì la risposta in frequenza, giusto?

[brabus]

Complimenti g.schgor.
Una esposizione che definirei cristallina, e che starebbe bene in una dispensa universitaria (nonché ben chiara nella testa degli studenti!).

In cinque anni è appena la seconda volta che vedo una chiara rappresentazione spaziale del concetto di "polo" e di "zero".

[g.schgor]

In questo caso non otterrei la funzione di trasferimento, bensì la risposta in frequenza, giusto?

Si, perche' dallo spazio tridimensionale di H(s) si passa a quello piano di H()
Ne pratica, pur parlando sempre di funzione s di Laplace ci si riduce all'esame del caso
particolare in cui la parte reale di s (di solito indicata con ) e' = 0.


A brabus vorrei segnalare l'articolo:
http://www.electroportal.net/g.schgor/wiki/articolo7
che riprende questo argomento, ampliandone la panoramica.

[serbring]

XXXXXX

e dal punto di vista pratico come farei a ricavare una funzione di trasferimento di sistemi meccanici?

[g.schgor]

Concettualmente basterebbe applicare all'ingresso di un blocco
un "impulso di Dirac" (impulso unitario con ampiezza infinita
e durata infinitesima) per ottenere come "risposta" l'andamento
di ampiezza e fase in funzione della frequenza.

In pratica, ci si puo' avvicinare con un impulso di grande ampiezza e
minima durata (metodo soprattutto applicato in sistemi meccanici, con
strumenti che ne ricavano direttamente il diagramma di Bode).

Un'alternativa, sono i metodi illustrati nel cap.23 del Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali,
In particolare la procedura di calcolo della risposta in frequenza come
rapporto tra le FFT (Fast Fourier Transforms) rispettivamente del segnale
d'uscita rispetto a quella del segnale d'ingresso
(se non e' abbastanza chiaro, possiamo risentirci).

[serbring]

XXXXX

e se io volessi ottenere una funzione di trasferimento, come faccio?

[TardoFreak]

...
L’importanza pratica di questo diagramma nella regolazione automatica e’
formidabile, e sono disponibile per tutte le richieste di sue applicazioni
concrete che dovessero essere poste.

Quello che non riesco a capire e' quale e' il vantaggio di visualizzare anche la parte reale se poi si utilizza il diagramma di Bode dove . Il diagramma di Bode non e' sufficiente?

[g.schgor]

(x TardoFreak)
Nelle teoria della regolazione automatica ci sono metodi
di esame di stabilità di un sistema, basati sulla posizione
dei suoi poli e dei suoi zeri sul piano s (di Laplace)
(ad es. metodo del luogo delle radici).
E' vero che questi metodi sono più accademici che di uso
comune (personalmente non ne ho mai visto l'applicazione
in campo industriale, dove diventa già sempre più raro
persino il ricorso a Bode, data la diffusione di controllori
che si autosintonizzano), ma la base concettuale è questa.


(x serbring)
Mi accorgo solo ora della richiesta di vari mesi fa !
Mi scuso della mancata risposta, ma ero in "vacanza" e non
l'ho notata al rientro.
Comunque non mi risulta che sia possibile determinare
"sperimentalmente" una FdT in s: al massimo si ricava
quella in , cioè la risposta in frequenza.