Risoluzione circuito del primo ordine

Messaggioda **GioMann99** » 23 nov 2019, 19:12

Buonasera a tutti, ho bisogno di una mano per quanto riguarda il seguente esercizio:
Per il circuito lineare in figura, determinare l'andamento temporale della tensione v_0(t) nei due casi: α=1 e α=3 con $v_{c}(0^{-})=0$ e generatore a gradino unitario.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ora di questi esercizi già ne ho risolti un po' solo che a differenza degli altri, questo non mi chiede l'andamento temporale della tensione sul condensatore ma mi chiede la tensione sulla porta, inoltre qui il generatore è a gradino e quindi non saprei da dove iniziare. Vi rignrazio in anticipo

PS. La polarità del condensatore è verso l'alto

Messaggioda **g.schgor** » 24 nov 2019, 3:32

Se preferisci puoi realizzare il gradino con un generatore da 1V
con in serie un contatto che si chiude a t=0.
Essendo vC(0)=0 , in questo istante C è un cortocircioto e ciò
permette di calcolare l'uscita v(0).
Togliendo C si piò calcolare invece v( $\infty$ ).

Puoi provare con $\alpha=1$ ?
(con $\alpha=3$ c'è una sorpresa..)

Messaggioda **GioMann99** » 25 nov 2019, 18:34

Grazie al suo aiuto ho potuto trovare la condizione iniziale su $v_{0}$ , lasciando indicato $\alpha$ ho trovato che:
$v_{0}(0)=\frac{2}{3}\alpha$
Però il problema persiste, poiché per andare a studiare la tensione $v_{0}(t)$ per $0<t<+\infty$ devo andare a considerare nuovamente il condensatore (sbaglio?) e quindi non saprei come andarmi ad impostare un'equazione differenziale in quanto mi comparirebbero quindi la $v_{0}(t)$ e la $v_{C}(t)$ .
Spero di essermi spiegato bene!

Messaggioda **g.schgor** » 25 nov 2019, 19:07

E' più semplce di quanto pensi.
Hai calcolato v(0) e devi calolare v( $\infty$ ).

Sapendo che la soluzione è del tipo:

$v(t)=a1+a2 \cdot e^{-t/RC}$

com a1=v( $\infty$ )
e a2=v(0)-v( $\infty$ )
non rimane che da calcolare RC
(vedremo come)

Messaggioda **GioMann99** » 26 nov 2019, 16:38

Quindi svolgendo i calcoli per $t=+\infty$ , il condensatore si sotituisce con un circuito aperto e quindi trovo che $v_{0}(+\infty)$ è uguale a:
$v_{0}(+\infty)=\frac{1}{4-2\alpha}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Perciò per $\alpha>2$ la tensione $v_{0}$ è negativa, ciò vuol dire che $\alpha$ non può assumere valori maggiori o uguali a 2?

Messaggioda **g.schgor** » 26 nov 2019, 17:57

Andiamo con ordine, completando il caso di $\alpha =1$
Abbiamo a1 e a2, manca RC.
Per ottenere R si può mettere al posto di C
un generatore unitario oente (1A)
e calcolare la tensione ai suoi capi: il valore
è numericamente ugusle ad R.

Puoi farlo?

Messaggioda **GioMann99** » 26 nov 2019, 18:06

Sì, il valore è 15 ohm, quindi $RC=15*0,001=1,5*10^{-2}$
Quindi, se i calcoli sono giusti $v_{0}(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}e^{-\frac{200}{3}t}$

Messaggioda **GioMann99** » 26 nov 2019, 20:33

Ok, credi di esserci arrivato, poiché facendo due conti, per $\alpha=3$ viene fuori una resistenza equivalente negativa $R_{eq}=-15 \Omega$ (mi corregga se sbaglio!).
Trovato ciò mi sono andato a leggere questo topic:
https://www.electroyou.it/isidorokz/wiki/resistenze-negative
che mi ha chiarito le idee.

Messaggioda **g.schgor** » 27 nov 2019, 7:38

Ecco la simulazione con $\alpha =1$ ;

: Forum191124.gif (4.62 KiB) Visto 4700 volte

Con $\alpha >1.5$ cambia la polarità di C
e questo provoca un aumento continuo delle correnti,
quindi di v(t), nel tempo.

Messaggioda **GioMann99** » 27 nov 2019, 18:49

La ringrazio infinitamente per il suo tempo, è stata un'impresa ahaha

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