Studio del limite con parametri variabili

[quartz1799]

salve a tutti, sono uno studente di ingegneria e, per una base di matematica non proprio delle migliori, trovo problemi nella risoluzioni di limiti come questo.



con

Il problema non è lo studio del limite, ma del suo studio legato al parametro alpha.
Sono arrivato alla soluzione (spero giusta) dell'esercizio a tentativi, dando cioè dei valori ad alpha e studiando il limite ogni volta, ma mi rendo conto che questo non è il metodo più corretto ne il più veloce.
Esistono dunque dei metodi che mi permettono di arrivare alla soluzione di limiti come questo senza dare arbitrariamente dei valori ad alpha o altri parametri che entrano in gioco?
Ad ogni modo il risultato da me trovato è:



Ringrazio tutti già da ora per il tempo speso

[fairyvilje]

Perché trovi necessario dare un valore ad alpha per risolvere questo limite? Tra l'altro non puoi assegnare il valore di infinito ad non essendo un numero reale o naturale. Dovresti fare un limite di un limite e la cosa non viene richiesta/concessa. Prova a postare i passaggi che hai fatto :). La soluzione è più semplice di quello che ti aspetti.

[Ianero]

è strutturale, non ha niente a che vedere con il limite in sé.
Quello che devi imparare a fare è solo trovare un modo per separare i casi che possono capitare quando spazia tra tutti i valori (fissati) che potrebbe assumere.
In questo caso nemmeno serve: perché?

[quartz1799]

Perché trovi necessario dare un valore ad alpha per risolvere questo limite? Tra l'altro non puoi assegnare il valore di infinito ad non essendo un numero reale o naturale. Dovresti fare un limite di un limite e la cosa non viene richiesta/concessa. Prova a postare i passaggi che hai fatto :). La soluzione è più semplice di quello che ti aspetti.

I passaggi che ho eseguito (spero corretti) sono i seguenti:












i termini divisi per x tendono a 0, le costanti e il coseno li ho considerati ininfluenti per
Questi sono solo due esempi, io ne ho eseguiti altri con valori differenti. Comunque i passaggi sono praticamente uguali e (a scanso di errori commessi) al crescere di la
funzione tende sempre più velocemente a 0, quindi sono arrivato alla conclusione che per



e



la funzione tende a o più velocemente al crescere sia di che di .

Non so se la soluzione da me trovata sia giusta o, almeno, se scritta nel modo corretto (il professore non ha dato la soluzione per questi esercizi)

[fairyvilje]

Prova a riscrivere i passaggi mantenendo alpha all'interno dell'espressione :).
Fondamentalmente hai tre intervalli e due punti che ti interessa studiare. La soluzione numericamente non cambia, ma il modo in cui converge si.

[quartz1799]

Se mantengo il parametro alpha all'interno come posso studiare il limite però? Effettivamente (omettendo i passaggi precedenti) otterrei



ma eseguire le proprietà delle potenze su dei parametri che sono maggiori di 0 (e quindi, credo, possono essere assunti come infinito) non sarebbe una sorta di ""forma indeterminata""?

[Ianero]

con

Se ti posso dare un consiglio, riscrivi il tuo limite così:



e così:




Ora trai le conclusioni.

[fairyvilje]

In realtà introdurrei uno studio anche prima e dopo il punto 1. Questo per via di quello che accade sul denominatore. Ok non cambia niente alla fine dei conti, ma visto che è un esercizio "prototipo" valuterei anche questo aspetto visto che determina un cambio nel monomio col grado più alto.

[Ianero]

Diventa un di più, perché basta che nota che , quindi nella seconda espressione del limite, qualunque sia , c'è già un al denominatore che abolisce il numeratore, indipendentemente da chi sia il monomio più alto al denominatore. :)

[quartz1799]

Se ti posso dare un consiglio, riscrivi il tuo limite così:
...
Ora trai le conclusioni.

Ho capito perché hai fatto questi passaggi, ma il risultato del limite non è comunque simile? Sia che o ottengo comunque un limite che tende a 0.