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La Zo di una linea di trasmissione.

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto Utenteluigi_48 » 16 mag 2020, 12:10

Buon giorno.
L'impedenza Zo di una linea di trasmissione, vista dai morsetti di alimentazione della stessa, ha, come noto, un valore costante (indipendentemente dalla lunghezza della linea stessa).
Sappiamo che Zo tiene conto della R , L, G e C per unità (m, km) e che costituiscono celle infinitesimali della linea stessa. E che di queste celle infinitesimali ce ne sono, ovviamente, un numero infinito.
Ma,chiedo,come si può impostare un'espressione matematica che tenga conto di tutto ciò e che dimostri che Zo è sempre la stessa in ogni punto?
Vi ringrazio e saluto tutti.
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[2] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 16 mag 2020, 12:51

luigi_48 ha scritto:L'impedenza Zo di una linea di trasmissione, vista dai morsetti di alimentazione della stessa, ha, come noto, un valore costante (indipendentemente dalla lunghezza della linea stessa).

Achtung, questo è vero se la linea è chiusa su una impedenza uguale oppure ha lunghezza infinita.
La trattazione non la ricordo, così a orecchio mi pare che ci fosse da integrare un sistema differenziale detto "dei telegrafisti".
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[3] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto Utentefpalone » 16 mag 2020, 12:52

Buongiorno,
Credo che tu stia cercando l'equazione dei telegrafisti :

https://www.electroyou.it/users/Sicurez ... /linee.htm
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[4] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto Utenteluigi_48 » 16 mag 2020, 15:13

Grazie ragazzi per le risposte. Sì, in effetti è l'equazione dei telegrafisti che dà risposta al mio quesito. Pensavo, però, ci fosse un altro modo, magari più semplice, per arrivare alla stessa conclusione.
Ho visto di recente un esercizio di elettrotecnica così impostato:
si consideri una rete elettrica costituita da una serie infinita di resistenze da 1ohm ognuna delle quali ha in parallelo una resistenza da 2ohm. Determinare il valore della resistenza equivalente di questa rete.
Per risolvere il problema bisogna dire che la resistenza equivalente è sempre la stessa in ogni punto della rete (come la Zo delle linee di trasmissione) . La resistenza equivalente è = 1ohm con in parallelo 2ohm ai quali 2ohm sta in parallelo la stessa resistenza equivalente. Ne nasce un'equazione di secondo grado il cui risultato è 2ohm (-1ohm si esclude).
E' tutto molto semplice, direi banale. Però, perché dicono che la resistenza equivalente è la stessa in tutti i punti della rete? Qual è l'espressione analitica che dimostra ciò?
Bisogna anche in questo caso ricorrere ad un'equazione simil-telegrafisti per carirlo?
E' questo che mi domando.
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[5] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 mag 2020, 16:56

luigi_48 ha scritto:Però, perché dicono che la resistenza equivalente è la stessa in tutti i punti della rete? Qual è l'espressione analitica che dimostra ciò?


La frase:

luigi_48 ha scritto:si consideri una rete elettrica costituita da una serie infinita di resistenze da 1ohm ognuna delle quali ha in parallelo una resistenza da 2ohm


la puoi tradurre analiticamente come segue.
Costruiamo una successione \{R_{\text{eq}_n}\}, partendo da R_{\text{eq}_1}:



R_{\text{eq}_1}=3.
La successione la definiamo poi per ricorrenza, dicendo che il termine R_{\text{eq}_{n+1}} è legato al precedente così:

R_{\text{eq}_{n+1}}=1+\frac{2\cdot R_{\text{eq}_n}}{2+ R_{\text{eq}_n}}

che visualizzato significa che se il termine n-esimo corrisponde a questo:



allora il termine n+1-esimo è questo:



Poiché la successione appena definita ammette limite, allora hai come immediata conseguenza che:

\lim_{n\to\infty}R_{\text{eq}_n}=\lim_{n\to\infty}R_{\text{eq}_{n+m}}

per qualsiasi m\in\mathbb{N}, che è proprio la risposta alla tua domanda.
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[6] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 16 mag 2020, 18:43

Ianero ha scritto:la successione appena definita ammette limite

Mi stavo chiedendo se fosse possibile calcolare direttamente il limite di questa successione definita per ricorrenza
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[7] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 mag 2020, 18:50

Certo.
Poiché esiste R_{\text{eq}_{\infty}}=\lim_{n\to\infty}R_{\text{eq}_n}, allora:

\lim_{n\to\infty} R_{\text{eq}_{n+1}}=\lim_{n\to\infty} 1+\frac{2\cdot R_{\text{eq}_n}}{2+ R_{\text{eq}_n}}
=1+\frac{2\cdot\lim_{n\to\infty}  R_{\text{eq}_n}}{2+ \lim_{n\to\infty} R_{\text{eq}_n}}

R_{\text{eq}_{\infty}}=1+\frac{2R_{\text{eq}_{\infty}}}{2+R_{\text{eq}_{\infty}}}\Rightarrow R_{\text{eq}_{\infty}}=2.


Ora sono io che chiedo a te: perché esiste? :-)
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[8] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 16 mag 2020, 19:06

Bella domanda! La successione non può tendere a zero perché abbiamo la prima resistenza in serie, non può tendere a infinito perché abbiamo la prima resistenza in parallelo, non può essere oscillante perché altrimenti mi arrabbio quindi deve tendere a un valore finito?
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[9] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 mag 2020, 19:54

Se per qualche motivo ci troviamo ad avere l'elemento n-esimo della successione oltre 2, allora (puoi verificarlo in un attimo):

R_{\text{eq}_n}\geq 2\Rightarrow R_{\text{eq}_{n+1}}\leq R_{\text{eq}_n}

Potrebbe oscillare? No, perché (di nuovo, si verifica in un attimo):

R_{\text{eq}_{n+1}}<2\Rightarrow R_{\text{eq}_{n}}<2

che è contro l'ipotesi di partenza.
Ma allora, essendo partiti con R_{\text{eq}_{1}}=3>2, abbiamo generato una successione decrescente e inferiormente limitata, per le quali il limite esiste per forza.
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[10] Re: La Zo di una linea di trasmissione.

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 mag 2020, 20:06

Aggiungo una curiosità.
La rete di resistenze così costruita genera delle frazioni continue (troncate, non intere e costruite al contrario):

R_{\text{eq}_n}=1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{R_{\text{eq}_{n-1}}}}=1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{R_{\text{eq}_{n-2}}}}}}=...

Vuoi vedere che [1;1/2,1,1/2,1,...] è proprio 2? :-)
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