Sistema dinamico in forma di stato

[mikoile]

Buonasera,
avrei un dubbio nello svolgimento del seguente sistema dinamico in forma di stato:





Mi viene chiesto di discutere se esiste un valore dello stato iniziale per cui l'evoluzione libera dell'uscita valga: .

Ho pensato di procedere in questo modo:

L'evoluzione libera dell'uscita è :


ottengo che è pari ad una matrice 1x2 ovvero:

per cui deve esistere uno stato iniziale in modo da soddisfare la seguente equazione matriciale:



quinidi risolvendo si ottiene :



Però essendo questi due valori dipendenti dal tempo e non delle costanti non possono essere dei valori di per cui non esiste nessuno stato iniziale che ci permetta di ottenere l'evoluzione libera richiesta.

Questa discussione potrebbe essere plausibile ?

[dimaios]

No è sbagliato.
Una cosa sono i "modi" del sistema un'altra cosa è il valore iniziale.
Lo stato iniziale è un punto di coordinate nello spazio delle fasi e non una funzione del tempo.
Quale coppia di coordinate moltiplicate per quelle funzioni del tempo danno il risultato che vuoi ottenere?

[mikoile]

Per ottenere il risultato provando con la combinazione riesco ad eliminare i termini ottenendo ma non penso ci sia una combinazione che faccia uscire il termine ....

[dimaios]

Non hai considerato che c'è anche il termine nel sistema su base stato.
Infatti l'ingresso tramite la matrice agisce direttamente sull'uscita.
Probabilmente con un determinato ingresso riesci a fissare una costante sull'uscita.
Il problema prevedeva l'utilizzo dell'ingresso oppure no?

In realtà la risposta completa del sistema sarebbe la seguente:



E di questa formula solo la prima parte riguarda l'evoluzione libera, inserirci anche una costante dovuta al termine è molto borderline perché questa parte è contenuta nella risposta forzata per definizione.
Bisogna vedere il problema dall'inizio ed interpretare correttamente la domanda perché nella definizione l'evoluzione libera si ha con ingresso identicamente nullo.

[mikoile]

La traccia dice: "Dato il seguente sistema, si discuta se esiste un valore dello stato iniziale per cui l'evoluzione libera dell'uscita valga "
quindi penso si riferisca alla sola evoluzione libera:

ovvero la componente dipendente dallo stato iniziale e non dall'evoluzione forzata che invece dipende dall'ingresso ( e quindi anche ). Inoltre in questo caso la matrice non è una costante ma anche una matrice 1x2 essendoci due ingressi, quindi non saprei..

[dimaios]

La matrice è una costante, il fatto che hai 2 ingressi non ha nulla a che fare con la costanza o meno della matrice di trasmissione diretta.
Se non puoi utilizzare gli ingressi con il solo stato non puoi avere in uscita una costante.
Una cosa strana è che gli autovalori della matrice sono positivi.
Sicuro riguardo i coefficienti? Riguarda il testo del problema.

[mikoile]

Sfortunatmente è corretta. Quindi stando a quanto detto una risposta plausibile alla traccia è che non esiste una combinazione di dello stato iniziale che ci permette di ottenere l'evoluzione libera cercata in quanto per ottenere la costante è necessario considerare gli ingressi e quindi l'evoluzione forzata ( )