Insiemi connessi

[quapakko]

Sia uno spazio topologico ed . Posto , la struttura è uno spazio topologico con sostegno .

si dice connesso se non si può scrivere come unione di due aperti in disgiunti e non banali.

Se (è un aperto di ), allora gli aperti di sono anche aperti di ()

Sia uno spazio metrico dove è la metrica euclidea ed un aperto metrico. si dice aperto connesso se non si può scrivere come unione di due aperti di (gli aperti di sono anche aperti di ) disgiunti non banali.

Se è un aperto metrico, allora sono equivalenti
1) è un aperto connesso
2) è connesso per poligonali
3) è connesso per archi

Se non fosse un aperto metrico ma fosse un chiuso oppure né aperto né chiuso, come posso valutarne la connessione? Dovrei prima determinare la topologia indotta su per vedere se si può o meno scrivere come unione di due aperti in non vuoti e disgiunti? Oppure posso ancora appellarmi alla connessione per poligonali o per archi anche se non è aperto?

In altri termini, per un sottoinsieme qualsiasi (aperto, chiuso, né aperto né chiuso) di uno spazio metrico (o topologico più in generale), la connessione per archi (o poligonali) implica sempre la connessione? e, quindi , che il sottoinsieme in questione non possa essere scritto come unione di due aperti del sottospazio metrico non vuoti e disginuti? In generale invece non vale il viceversa (la connessione non implica la connessione per archi)

Quindi se ad esempio ho un chiuso che non è connesso per archi posso concludere che non sarà connesso e che è esprimibile come unione di due aperti del suo sottospazio (o di ?) non vuoti e disgiunti.

Ho compreso bene?

Mi sembra ancora tutto un po' confuso. La mia finalità è principalmente risolvere esercizi in cui, determinato il dominio di una funzione di più variabili reali a valori reali, mi viene chiesto di dire se è aperto, chiuso, compatto, connesso. Per le prime tre richieste non ho problemi perché utilizzo la definizione di aperti e chiusi di spazi metrici e per la compattezza uso la caratterizzazione "limitato e chiuso=compatto". Per la connessione ho ancora dubbi e non capisco se il fatto che l'insieme sia aperto, chiuso o nessuno dei due, debba portarmi ad usare strategia diverse per decidere se sia connesso o meno

[Simona99]

Il mio prof di analisi diceva che connesso lo puoi vedere come "tutto di un pezzo", se l'insieme e tutto di un pezzo allora é connesso. Per esempio l'intervallo (10,17) così come [10,17] sono tutti di un pezzo e quindi connessi (come vedi aperto o chiuso cambia poco), una corona circolare è connessa perché é tutta di un pezzo