ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **marioursino** » 3 feb 2021, 11:45

PietroBaima ha scritto:se mi dici quale è il nick che hai scelto te lo attivo io.

poilkjuh

Comunque in realtà anche io non mi sono spiegata benissimo perché in realtà il ragazzo è al primo anno di IoT (Internet of Things, Big Data and Web) e sinceramente mi sarei aspettata un procedimento risolutivo più basico di uno sviluppo in serie o di un confronto "ad occhio".

Mi sta venendo il sospetto che a lezione il docente si sia soffermato sulla successione $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ed al confronto con la costante

.

Grazie mille per il tempo dedicato al mio limite!

da **PietroBaima** » 3 feb 2021, 11:49

marioursino ha scritto:poilkjuh

Account attivato,

poilkjuh

marioursino ha scritto:Mi sta venendo il sospetto che a lezione il docente si sia soffermato sulla successione $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ed al confronto con la costante .

Oppure è un fisico, magari uno specializzato in meccanica statistica. Gentaglia della peggiore.

marioursino ha scritto:Grazie mille per il tempo dedicato al mio limite!

Così ti viene?

da **poilkjuh** » 4 feb 2021, 20:18

Sono andata direttamente alla fonte e ho chiesto al docente come si può risolvere il limite utilizzando gli strumenti di analisi I. Ha esordito con "eh, questo non è facile" e ci ha pensato almeno 5 minuti, poi mi ha buttato giù una bozza di risoluzione.
L'ho elaborata un attimo ed ecco la risoluzione che cercavo:
$\text{Considero }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^3}-e^{n^2}$
$\text{sostituisco } x=\frac{1}{n} \text{ e raccolgo } e^{\frac{1}{x^2}}\\$
$e^{\frac{1}{x^2}}\left(\frac{(1+x)^\frac{1}{x^3}}{e^{\frac{1}{x^2}}}-1\right)$
Considero per praticità solo il primo termine dentro parentesi:
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(1+x)^\frac{1}{x^3}}{e^{\frac{1}{x^2}}}= \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\ln(1+x)^\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}}= \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\frac{1}{x^3}\ln(1+x)-\frac{1}{x^2}}= \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\frac{\ln(1+x)-x}{x^3}}=$
Applico de l'Hôpital all'esponente:
$e^{\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{3x^2}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-1}{3x^2(1+x)}}[=e^{-\infty}]=0$
Salto gli ultimi passaggi e alla fine si ottiene:
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^3}-e^{n^2}\right)=\lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\frac{1}{x^2}}\left(\frac{(1+x)^\frac{1}{x^3}}{e^{\frac{1}{x^2}}}-1\right)=-\infty$

da **PietroBaima** » 4 feb 2021, 20:23

Ellamado che casino...
Se riesco stasera scrivo qualcosa.
Comunque quel limite si vede che fa meno infinito ad occhio, perché il primo pezzo è qualcosa che tende ad e (elevato qualcosa) mentre il secondo addendo è già e.
Ci torno appena non scrivo dal telefono.
Comunque il prof erra.

da **poilkjuh** » 4 feb 2021, 20:26

PietroBaima ha scritto:Comunque quel limite si vede che fa meno infinito ad occhio, perché il primo pezzo è qualcosa che tende ad e (elevato qualcosa) mentre il secondo addendo è già e.

Certo, però all'esame il docente chiede un procedimento esplicito, e questo è quello che vuole..

da **PietroBaima** » 5 feb 2021, 1:12

poilkjuh ha scritto:Certo, però all'esame il docente chiede un procedimento esplicito, e questo è quello che vuole..

Basta usare i teoremi sulle successioni monotone.

Scriviamo che $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\text{e} \qquad \forall n \in \mathbb{N}^+$
da cui anche

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n^3)}<\text{e} ^{n^2} \qquad \forall n \in \mathbb{N}^+$

Se questo è vero termine a termine, la successione $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n^3)}-\text{e} ^{n^2}$ è monotona decrescente strettamente, quindi ammette limite.
La successione è illimitata inferiormente, per cui questo limite deve per forza essere meno infinito.

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