La Delta di Dirac.

[luigi_48]

Da autodidatta ho studiato la Delta di Dirac. Argomento matematico molto interessante. Però, nella pratica, non ho ben capito a cosa possa servire. Ho appreso che viene utilizzata per rappresentare o i picchi o la discontinuità di alcuni segnali ma nella pratica come si utilizza?
Se ad esempio un tecnico rilevasse da un circuito elettrico, con un oscilloscopio, un certo segnale, ne potrebbe fare l'analisi armonica per capire come meglio trattarlo e capire anche come funziona quel dato circuito. Ma senza la Delta di Dirac, in quali imbarazzi incorrerebbe? Ovvero, con la Delta di Direc quali vantaggi ulteriori avrebbe per la sua analisi ?
Un saluto a tutti.

[fairyvilje]

La delta di Dirac equivale alla formalizzazione matematica di una martellata molto rapida sul tuo sistema, tanto da immaginare che questa avvenga in un tempo minuscolo, con tutta l'energia concentrata in quell'istante.
In una sua ulteriore generalizzazione, serve anche per rappresentare in modo adeguato segnali che non sono di classe ovvero quelli continui con tutte le loro derivate continue. Questi segnali "estesi" che presentano discontinuità sono fastidiosi sotto il profillo matematico, per lo meno se li si vuole trattare in modo formale, ma utilissimi in ambito ingegneristico e le distribuzioni come la delta di Dirac aiutano a connettere questi due aspetti offrendo una notazione semplificata che permette di estendere i concetti di integrali e derivate.

La delta di Dirac è utile perché la risposta implusiva (quindi il risultato di un singola martellata sul sistema) di un sistema lineare e tempo-invariante può essere usata per determinare la sua risposta a qualsiasi altro segnale tramite l'operazione di convoluzione. Per questo è estremamente comodo come strumento.

Mi dispiace se la risposta è un po' "raffazzonata" ed ha degli asterischi poco palesi; si tratta di una forte semplificazione, visto che il rigore matematico potrebbe confondere invece che aiutare. Tuttavia alcune delle domande non possono essere discusse in modo adeguato senza di questo .

[MarcoD]

Bella la metafora: la delta di Dirac è come una martellata su una campana, si analizza poi il suono prodotto.

[luigi_48]

Dunque la Delta di Dirac è come una martellata impressa di soppiatto a un sistema. Ciò rende bene l'idea. Ma ancora c'è una cosa che non capisco:
matematicamente l'impulso (cioè la martellata) viene moltiplicato per la funzione in esame. Il tutto sotto il segno di integrale esteso da + - infinito. Il risultato di questa operazione è il valore che la funzione assume nell'istante (to) in cui si applica l'impulso. Ma, dico io, per conoscere il valore della funzione in quell'istante (to) non basterebbe sostituire quel (to) nella funzione stessa e vedere quanto esce? Es. Se la funzione fosse y=cos(2*pi*50*t) e l'impulso venisse applicato nell'istante to=3 , il calcolo di y(3) sarebbe immediato. Cosa serve allora tirare in ballo la Delta di Dirac con tutte le sue implicazioni per arrivare alla stessa conclusione?
Non capisco!

[MarcoD]

Es. Se la funzione fosse y=cos(2*pi*50*t) e l'impulso venisse applicato nell'istante to=3 , il calcolo di y(3) sarebbe immediato. Cosa serve allora tirare in ballo la Delta di Dirac con tutte le sue implicazioni per arrivare alla stessa conclusione?

E' vero, nel caso della funzione y=cos(2*pi*50*t) , non serve.

Serve quando applicata a delle equazioni integro-differenziali, ossia funzioni che rappresentano dei circuiti con componenti reattivi es. un circuito (filtro) RLC di cui si vuole vedere come si evolve nel tempo a una sollecitazione a impulso.

ricorda che l'integrale di una delta di Dirac è un gradino (per esempio una tensione costante applicata con un interruttore ), alle volte più facile da vedere elettricamente.

Ritorno alle metafore:
la funzione y=cos(2*pi*50*t) è quella del punto sulla circonferenza di una ruota che gira a velocità costante; in funzione della rotazione, la distanza del punto sull'asse orizzontale varia.

L'equazione di una campana (considerato in un solo punto assomiglia a un circuito oscillatore RLC smorzato, è una cosa diversa, più complessa).

Pensa a un sistema meccanico composto da una massa appesa a una molla e dallo smorzamento dell'aria, se caratterizzi il comportamento della massa, quando applichi
una sollecitazione a impulso (delta dirac) (rapido spostamento in verticale e immediato ritorno alla posizione precedente) alla altra estremità della molla, potrai poi predire il comportamento a tutti i profili di spostamento che pensi di applicare ( per esempio uno spostamento a dente di sega).

[luigi_48]

Ne capisco sempre di più. Marco mi hai portato l'esempio di un circuito RLC.
Supponiamo allora che per mezzo di una bread board allestisca un circuito RLC, non risonante, alimentato da una tensione sinusoidale ricavata da un variac.
Per applicare a questo circuito la Delta di Dirac come dovrei fare?
Forse dovrei imprimere improvvisamente una repentina rotazione alla manopola del variac per aumentare la tensione in uscita e poi riportarla dov'era o questa manovra non introduce per niente la Delta di Dirac al mio circuito?
Grazie ancora per la pazienza.

[MarcoD]

Supponiamo allora che per mezzo di una bread board allestisca un circuito RLC, non risonante, alimentato da una tensione sinusoidale ricavata da un variac.
Per applicare a questo circuito la Delta di Dirac come dovrei fare?
Forse dovrei imprimere improvvisamente una repentina rotazione alla manopola del variac per aumentare la tensione in uscita e poi riportarla dov'era o questa manovra non introduce per niente la Delta di Dirac al mio circuito?

si, teoricamente dici bene, ma praticamente è difficile da realizzare.
In quanto tempo pensi di muovere il variac ? 200 ms ?
se usi il variac sei in AC 50 Hz. un periodo 20 ms.
Il circuito LC dovrebbe avere una risposta maggiore di qualche secondo
Che induttanza e capacità hai disponibile per le prove:
almeno 10 H e 100 uF carta-olio ? Una enormità!
Poi si sovrappongono i fenomeni della alimentazione in AC a quelli dell'impulso.
Pensa ad una alimentazione in continua inseribile con un deviatore che commuta fra zero e la tensione.

Pensa di essere in autovettura in marcia al minimo, premi l'acceleratore per 2 secondi. poi rilascialo: hai generato un impulso approssimabile alla delta di Dirac.

Dipende dai tuoi interessi, ti consiglierei di lasciar perdere le considerazioni sulla delta Dirac, che nella maggior parte dei casi pratici non portano a molto.

Pensa di comandare a gradino un servomeccanismo.

[GioArca67]

Da autodidatta ho studiato la Delta di Dirac. Argomento matematico molto interessante. Però, nella pratica, non ho ben capito a cosa possa servire.

A nulla! La delta di Dirac non è fisicamente realizzabile, quindi potresti solo approssimarla, allora approssimazione per approssimazione farai altre indagini.
Non è fisicamente realizzabile perché servirebbero livelli di tensione infiniti (ha ampiezza infinita) in tempi infinitesimi (ha durata infinitesima), ma area (rozzamente, base per altezza) finita (ad es. 1).
Seppure fossimo così bravi, poi un sistema reale non riuscirebbe a digerirla: immagina che succederebbe se mettessi 1.000.000V in ingresso ad un filtro attivo (e pure ad uno passivo)... ed 1.000.000V non sono nulla a paragone di quel che servirebbe per fare un impulso matematico (matematico si chiama)

Ho appreso che viene utilizzata per rappresentare o i picchi o la discontinuità di alcuni segnali ma nella pratica come si utilizza?

Ricorda che gli impulsi matematici hanno tutti la stessa "altezza", ciò che cambia è l'area. Infatti si rappresentano con un freccia... a volte per comodità si usa rappresentarli con altezze diverse e proporzionali alla loro area.

Se ad esempio un tecnico rilevasse da un circuito elettrico, con un oscilloscopio, un certo segnale, ne potrebbe fare l'analisi armonica per capire come meglio trattarlo e capire anche come funziona quel dato circuito. Ma senza la Delta di Dirac, in quali imbarazzi incorrerebbe?

Nessuno. Forse incorrerebbe in imbarazzi a farla...

Ovvero, con la Delta di Direc quali vantaggi ulteriori avrebbe per la sua analisi ?

Dal punto di vista pratico nessuno. Dal punto di vista matematico riesce a descrivere bene il comportamento del filtro (o scatolotto nero a due porte) sia nel dominio del tempo (con la risposta impulsiva, ovvero proprio la risposta del sistema quando all'ingresso viene -idealmente- posto un impulso) sia in quello della frequenza (con la funzione di trasferimento; ricorda che la trasformata di Fourier dell'impulso unitario è una costante in frequenza; nel dominio della frequenza la convoluzione diviene una moltiplicazione e la trasformata di Fourier dell'uscita U(w) è il prodotto fra la trasformata del segnale di ingresso I(w) della risposta impulsiva del filtro H(w), che non conosciamo, ovvero U(w)=H(w) • I(w). Allora se I(w)=1, dicevamo che la trasformata di Fourier di un impulso matematico è una costante su tutto lo spettro, misurando l'uscita otteniamo proprio anche la H(w) ).

Un saluto a tutti.

Per cui ottimo per gli studi che fai, anche da solo, continua e chiedi se hai dubbi.

[luigi_48]

Grazie. Vi ringrazio tutti di cuore.
Adesso ho capito tutto.