risposta polinomiale

[dannywall]

salve alle prese con un esame di sistemi dinamici mi sono ritrovato contro una domanda riguardo la risposta forzata polinomiale...il mio problema è nel fatto che sono arrivato a sviluppare la risposta nei fratti semplici e poi tornando al dominio del tempo ho parlato di una struttura
e ho detto che i termini della doppia sommatoria sono modi propri del sistema e se i poli sono tutti a parte reale negativa allora ho che questo mi indica un termine transitorio, la domanda è perché quelli sono modi propri del sistema??? io credevo che la risposta fosse: sono modi propri come quelli analizzati nella risposta in evoluzione libera evidenziati da una stessa struttura.... il prof mi ha corretto dicendo che la struttura è simile ma non è detto che abbia lo stesso comportamento. Alla fine sono arrivato a dire che sono modi propri se i termini dell'evoluzione libera coincidono proprio con quelli della mia risposta... problema perché si verifica questo???
sapreste aiutarmi la soluzione per detta del prof è banale ma non sono riuscito a vedere nulla che mi portasse ad essa

[dimaios]

Devo dire che la domanda è veramente mal posta ma, per quanto riesco a comprendere, devi considerare due casi particolari:

1. Sistema semplicemente proprio o improprio
2. Cancellazione poli-zeri nella risposta forzata ( condizione patologica )

In questi due casi la risposta in evoluzione libera e forzata non coincidono.

[dannywall]

ciao, ti ringrazio innanzitutto per esserti interessato.
so che magari è un po' contorto ciò che ho detto... in sostanza non riesco a capire perché posso affermare che i termini della doppia sommatoria che ho indicato sono dei modi propri del sistema, ripeto il prof mi ha detto che la soluzione è banale però non avendomela detta non riesco proprio ad arrivarci da solo. sto cercando anche su internet ma non ho trovato nulla che me lo spieghi.

io come ho già detto pensavo che fosse per la struttura relativa ad un tempo elevato a qualcosa per un esponenziale elevato a un tempo, ma mi ha fatto notare che questo non mi dice che che due cose si comportino uguale ma solo che le cose si assomigliano e oltre questo pensavo che derivava dall'analisi dei poli e che se erano tutti a parte reale negativa m'indicava un termine transitorio... e poi mi ha fatto intuire che i coefficienti quindi della risposta libera e della mia polinomiale devono essere per forza uguali senza però ecco dirmi il perché

sono un po' preoccupato perché come detto io non sono riuscito a trovar nulla

[dimaios]

Hai letto la risposta che ti ho dato?
Se provi a scrivere nel dettaglio quello che ti ho illustrato vedrai che è così.
Lo vedi anche al livello di Laplace trasformata non serve necessariamente antitrasformare nel dominio temporale.

[dannywall]

Hai letto la risposta che ti ho dato?

si però sinceramente non è che ho afferrato correttamente, cioè quelle due condizioni legano la mia risposta libera e la polinomiale? Cioè posso dire che i termini della doppia sommatoria della mia polinomiale sono modi di evoluzione come quelli della risposta libera se non rispetta quelle condizioni?
poi...per la 1° dovrei il sistema è proprio o improprio? e per la 2° intendi quando ho la presenza di poli e zeri e ne ho la semplificazione giusto? però in quel caso da come l'ha spiegata il prof mi cambia gli estremi delle sommatorie e quella relativa alla doppia viene associata sempre ai modi, sinceramente leggendo sul libro non ho trovato nulla che spiegasse ciò.

Lo vedi anche al livello di Laplace trasformata non serve necessariamente antitrasformare nel dominio temporale.

Potrei chiederti di spiegarmi meglio e nel caso se hai una formula descrittiva migliore per aiutarmi a capire??

[GioArca67]

Dalle matrici A, B, C, D descrittive del sistema lineare sapresti ricavare la W(s)?

[dannywall]

no perché sinceramente non mi sembra sia stato affrontato uno studio di questo tipo

[GioArca67]

Cioè dato il sistema



determinare la funzione di trasferimento che è data da:


ottenuta semplicemente per trasformazione nel dominio di Laplace, raccolta del termine x(s) dalla prima e sostituzione nella seconda;

e con lo studio delle matrici A, B, C esaminare raggiungibilità, osservabilità, ecc.

I modi propri che appaiono dalla W(s) non sono tutti i modi propri del sistema, essa è una rappresentazione che può essere parziale poiché vi possono essere cancellazioni zeri poli che non rendono evidenti in uscita modi instabili, che (essendo instabili) provocano evoluzioni illimitate nello spazio di stato (ed esternamente invisibili), pur essendo l'ingresso limitato.

Ad es. posto

cioè una matrice di polinomi in s diviso un polinomio in s,
hai

quindi


Esaminiamo il sistema



La matrice A è triangolare, autovalori sulla diagonale principale 1 e -1(che corrispondono ai poli: abbiamo det(sI-A) a denominatore), quindi il sistema è instabile (polo a parte reale positiva).
Ma






quindi un bel sistemino stabile ad un polo.


Oppure non ho capito nulla della domanda...

[dannywall]

Oddio ... ho seguito il corso non quest'anno e mi sembra che un analisi sulla funzione di trasferimento non veniva fatta, comunque ricontrollando le sfide sintetiche che ha posto il prof quest'anno mi sembra che lo stesso non ci sia.

Però la mia domanda non era riferita all analisi della funzione di trasferimento o meglio penso che in qualche maniera sia collegata ma non so come,cioè come ho già detto discutendo della risposta polinomiale sono arrivato a scrivere il sistema di cui ho posto la foto...dal libro leggo che i termini della doppia sommatoria sono modi propri del sistema senza spiegare il perché. Io pensavo che si ricollegavano ai modi della risposta libera per via della forma ma invece non è per quello...

Non so se vi sto facendo capire il problema e ripeto il professore mi ha detto che è una cosa molto banale ma molto importante per dire che quelli sono modi. E secondo me la soluzione a questo mi dice perché anche quelli della risposta sinusoidale sono dei modi.

Da come.mi ha fatto intendere il prof per far sì che quelli siamo modi i fattori della risposta libera devono essere esattamente uguali a quelli della forzata,o meglio le soluzioni della generica radice dovrebbero essere uguali esattamente a quelle del generico polo ,però se è così non ne sono sicuro e poi quale sarebbe il motivo per cui sarebbero uguali?

[dimaios]

Vedo che non hai seguito il percorso che ti aveva indicato anche GioArca67.
Allego una dispensa che spiega bene quello che vuoi sapere.
In fondo sono illustrati i 3 casi e si intuisce quanto ti ha detto il docente.

controlli1_01.pdf

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